Teste da comparação

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O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

  • \sum_{n=1}^{\infty}a_n
  • \sum_{n=1}^{\infty}b_n

Então se 0\leq a_n\leq b_n, para todo o n \geq p (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se |a_n|\leq b_n, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

2º critério da comparação[editar | editar código-fonte]

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

l = \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} : b_n \neq 0, \forall n \in  \mathbb{N}
  • se l \in \left]0,\infty\right[ as séries \sum_{n=1}^{\infty}a_n e \sum_{n=1}^{\infty}b_n têm a mesma natureza.
  • se l = 0
(a) se \sum_{n=1}^{\infty}b_n converge, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge
(b) se \sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge, então \sum_{n=1}^{\infty}b_n diverge
  • se l = +\infty
(a) se \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge, então \sum_{n=1}^{\infty}b_n converge
(b) se \sum_{n=1}^{\infty}b_n diverge, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que \sum_{n=1}^{\infty}b_n seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

S_N^b:=\sum_{n=1}^N b_n é uma seqüência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

S_N^a:=\sum_{n=1}^N a_n

Queremos mostrar que S_N^a é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

\left|S_{N+k}^a-S_N^a\right|=\left|\sum_{n=N+1}^{N+k} a_n\right|

Use a desigualdade triangular:

\left|S_{N+k}^a-S_N^a\right|\leq\sum_{n=N+1}^{N+k} |a_n| \leq \sum_{n=N+1}^{N+k} b_n = |S_{N+k}^b-S_N^b|

Sendo S_N^b uma sucessão de Cauchy, S_N^a também o é.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Seja a série fatorial que define o número de Euler: e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} Denote por S_n e R_n as somas parciais e o resíduo de ordem N:

e=S_N+R_N\,
S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{N!}
R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}

Vamos mostrar que a série convege e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}= \frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{N!}{n!}

Como \frac{N!}{n!}=\frac{1}{(N+1)(N+2)\cdots(n)}<\frac{1}{(N+1)^{n-N}},~~ n>N

Assim comparamos:

R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\leq\frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{(N+1)^{n-N}}=\frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}(N+1)^{-(n-N)}

Usanda a soma da série geométrica, temos:

R_N=\frac{1}{N!(N+1)}\sum_{n=0}^{\infty}(N+1)^{-n}\leq \frac{1}{N!(N+1)}\frac{1}{1-(N+1)^{-1}}=\frac{1}{N!N}