Teste da comparação

O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
• $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Então se $0\leq a_n\leq b_n$, para todo o $n \geq p$ (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se $|a_n|\leq b_n$, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

2º critério da comparação

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

$l = \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} : b_n \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}$

• se $l \in \left]0,\infty\right[$ as séries $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ têm a mesma natureza.
• se $l = 0$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge

• se $l = +\infty$

(a) se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge

(b) se $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverge, então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge

Demonstração

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

$S_N^b:=\sum_{n=1}^N b_n$ é uma seqüência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

$S_N^a:=\sum_{n=1}^N a_n$

Queremos mostrar que $S_N^a$ é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

$\left|S_{N+k}^a-S_N^a\right|=\left|\sum_{n=N+1}^{N+k} a_n\right|$

Use a desigualdade triangular:

$\left|S_{N+k}^a-S_N^a\right|\leq\sum_{n=N+1}^{N+k} |a_n| \leq \sum_{n=N+1}^{N+k} b_n = |S_{N+k}^b-S_N^b|$

Sendo $S_N^b$ uma sucessão de Cauchy, $S_N^a$ também o é.

Exemplos

Seja a série fatorial que define o número de Euler: $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ Denote por $S_n$ e $R_n$ as somas parciais e o resíduo de ordem N:

$e=S_N+R_N\,$

$S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{N!}$

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}$

Vamos mostrar que a série convege e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}= \frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{N!}{n!}$

Como $\frac{N!}{n!}=\frac{1}{(N+1)(N+2)\cdots(n)}<\frac{1}{(N+1)^{n-N}},~~ n>N$

Assim comparamos:

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\leq\frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{(N+1)^{n-N}}=\frac{1}{N!}\sum_{n=N+1}^{\infty}(N+1)^{-(n-N)}$

Usanda a soma da série geométrica, temos:

$R_N=\frac{1}{N!(N+1)}\sum_{n=0}^{\infty}(N+1)^{-n}\leq \frac{1}{N!(N+1)}\frac{1}{1-(N+1)^{-1}}=\frac{1}{N!N}$