Teste da divergência

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge, então seu termo geral a_n converge para zero.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considere as somas parciais S_N

S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n Queremos mostrar que a convergência de S_N implica que o limite \lim_{n\to\infty}a_n exista e seja nulo.

Como a seqüência S_N é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo k positivo, vale o limite:

\lim_{N\to\infty} (S_{N+k}-S_N)=0

O teorema do termo geral é o caso particular em que k=1, pois:

\lim_{N\to\infty} (S_{N+1}-S_N) = \lim_{N\to\infty} a_{N+1} = 0

O que completa a demonstração.

Outra demonstração[editar | editar código-fonte]

Se o limite \lim_{n\to \infty}S_N existe, então:

\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}

E

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=S-S=0

A recíproca não é verdadeira[editar | editar código-fonte]

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

onde o termo geral \frac{1}{n} tende a zero, mas a soma diverge.

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.