Teste da integral

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O teste da integral (português brasileiro) ou critério do integral (português europeu) é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_n uma série de números positivos e f(x):[1,\infty)\to\mathbb{R} uma função com as seguintes propriedades:

Então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge se e somente se \int_{1}^{\infty}f(x)dx converge.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como f(x) é decrescente e f(n)=a_n, podemos enquadrar os termos da seguinte forma:

a_{n+1}=f(n+1)\leq f(x)\leq f (n)=a_n, se x\in [n,n+1]

integrando no intervalo, temos:

a_{n+1}\leq \int_{n}^{n+1}f(x)dx\leq a_n

Somando até N:

\sum_{n=1}^{N}a_{n+1} \leq \int_{1}^{N+1}f(x)dx\leq \sum_{n=1}^{N}a_n

Agora basta observar que f(x)\ge 0 implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

Outros enunciados[editar | editar código-fonte]

O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!

  • É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária.
    As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas).
  • Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio.
  • Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considera a Série de Dirichlet com expoente \alpha>1:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}

e considere a função:

f(x)=\frac{1}{x^\alpha}

é sabido que:

\int_1^N f(x)dx=\int_1^N x^{-\alpha} = \frac{1-N^{(1-\alpha)}}{\alpha-1}\to\frac{1}{\alpha-1}, N\to\infty

Portanto, tal série converge.