Teste da integral

O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Enunciado

Seja $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ uma série de números positivos e $f(x):[1,\infty)\to\mathbb{R}$ uma função com as seguintes propriedades:

• $f(x)\geq 0\,$;
• $f(x)\,$ é decrescente;
• $f(n)=a_n\,$.

Então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge se e somente se $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge.

Demonstração

Como $f(x)$ é decrescente e $f(n)=a_n$, podemos enquadrar os termos da seguinte forma:

$a_{n+1}=f(n+1)\leq f(x)\leq f (n)=a_n$, se $x\in [n,n+1]$

integrando no intervalo, temos:

$a_{n+1}\leq \int_{n}^{n+1}f(x)dx\leq a_n$

Somando até $N$:

$\sum_{n=1}^{N}a_{n+1} \leq \int_{1}^{N+1}f(x)dx\leq \sum_{n=1}^{N}a_n$

Agora basta observar que $f(x)\ge 0$ implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

Exemplo

Considera a Série de Dirichelet com expoente $\alpha>1$:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$

e considere a função:

$f(x)=\frac{1}{x^\alpha}$

é sabido que:

$\int_1^N f(x)dx=\int_1^N x^{-\alpha} = \frac{1-N^{(1-\alpha)}}{\alpha-1}\to\frac{1}{\alpha-1}, N\to\infty$

Portanto, tal série converge.