Teste da raiz

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O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_n uma série numérica e a constante k definida pelo limite:

  • k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Então:

  • Se k < 1, a série converge absolutamente
  • Se k > 1 ou  k = 1^+, a série não converge
  • Se k = 1^-, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k por:

  • k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a série dada por:

  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{2}<1

Portanto a série converge.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Considere a série dada por:

  • \sum_{n=0}^{\infty}2^{n(-1)^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{n(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(2^{(-1)^n})^n|}

= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{(-1)^n}|^n}=
=\lim_{n \to \infty}{|2^{(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty}b_n, em que:
b_n = \begin{cases} 2, & \mbox{se n par}  \\ \frac{1}{2},  & \mbox{se n ímpar } \end{cases}

Então b_n não tem limite, ou seja, \lim_{n \to \infty}b_n não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty} (b_n) =2>1

Como 2>1 a série é divergente.

Demonstração para k<1[editar | editar código-fonte]

Seja:

k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Escolha \varepsilon = \frac{1-k}{2} Como k<1, \varepsilon>0 e, portanto, existe um N>0 tal que:

\sqrt[n]{|a_n|}< k+\varepsilon,~~n>N

De forma que:

\sqrt[n]{|a_n|}< k+\varepsilon< k+ \frac{1-k}{2} = 1 + \frac{k-1}{2} = 1-\varepsilon<1

Assim, |a_n|<(1-\varepsilon)^n, n>N e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão q=1-\varepsilon <0

Demonstração para k>1[editar | editar código-fonte]

Se k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}>1 , então existe u > 1 e uma subseqüência \{a_{n_j}\}_{j=1}^{\infty} tal que:

\sqrt[n_j]{|a_{n_j}|} \geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots

E imediatamente:

|a_{n_j}| \geq u^{n_j},~~\forall j=1,2,3,\ldots

E portanto, \limsup_{n \to \infty} |a_n| = \infty

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

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