Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ uma série numérica e a constante $k$ definida pelo limite:

• $k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Então:

• Se $k < 1$, a série converge absolutamente
• Se $k > 1$ ou $k = 1^+$, a série não converge
• Se $k = 1^-$, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de $k$ por:

• $k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Exemplo

Considere a série dada por:

• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$

$k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{2}<1$

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

• $\sum_{n=0}^{\infty}2^{n(-1)^n}$

$k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{n(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(2^{(-1)^n})^n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{(-1)^n}|^n}=$

$=\lim_{n \to \infty}{|2^{(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty}b_n$, em que:

$b_n = \begin{cases} 2, & \mbox{se n par} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{se n ímpar } \end{cases}$

Então $b_n$ não tem limite, ou seja, $\lim_{n \to \infty}b_n$ não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

$k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty} (b_n) =2>1$

Como $2>1$ a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

$k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Escolha $\varepsilon = \frac{1-k}{2}$ Como $k<1$, $\varepsilon>0$ e, portanto, existe um $N>0$ tal que:

$\sqrt[n]{|a_n|}< k+\varepsilon,~~n>N$

De forma que:

$\sqrt[n]{|a_n|}< k+\varepsilon< k+ \frac{1-k}{2} = 1 + \frac{k-1}{2} = 1-\varepsilon<0$

Assim, $|a_n|<(1-\varepsilon)^n, n>N$ e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão $q=1-\varepsilon <0$

Demonstração para k>1

Se $k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}>1$, então existe u > 1 e uma subseqüência $\{a_{n_j}\}_{j=1}^{\infty}$ tal que:

$\sqrt[n_j]{|a_{n_j}|} \geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots$

E imediatamente:

$|a_{n_j}| \geq u^{n_j},~~\forall j=1,2,3,\ldots$

E portanto, $\limsup_{n \to \infty} |a_n| = \infty$

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.