Teste de Abel

Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$

onde as duas propriedades são verificadas:

• $\sum_{n=1}^{N}a_n\,$ converge
• {b_n} é monótona e $\lim_{n \to \infty}b_n =b_{\infty}\neq \pm\infty\,$

Uma demonstração para o teste de Abel pode ser obtida como um caso particular do teste de Dirichlet, escrevendo $b_n= (b_n-b_{\infty})+b_{\infty}\,$, assim:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n=b_\infty\sum_{n=1}^{\infty}a_n+ \sum_{n=1}^{\infty}a_n (b_n-b_{\infty})$

Exemplo

A série $\sum_{n=1}^\infty\frac{(1/n-1)^n}{n}\,$ é convergente. Neste caso, defina:

$a_n=\frac{(-1)^n}{n}$

e

$b_n=\left(1-1/n\right)^n$

A série $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\,$ é convergente pelo teste da série alternada e a sequência $b_n\,$ é monótona, decrescente e converge para $e^{-1}\,$.