Teste de Dirichlet

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Em matemática, o teste de Dirichlet (Veja Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n

onde as duas propriedades são verificadas:

  • \left|\sum_{n=1}^{N}a_n\right|<M para todo N>0
  • b_1\geq b_2 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n \to 0

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n seja convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja θ um ângulo constante tal que cos(\theta) \neq 1\,, e considere a série:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n \theta)}{n}

Defina a_n=\sin(n \theta)\, e b_n=\frac{1}{n} É claro que b_n é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

\sum_{n=1}^N\sin(n \theta)=\sin(N\theta)+\dfrac{\sin((N-1)\theta)-\sin(N\theta)+\sin\theta}{2-2\cos\theta}\,

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n\, nem a série \sum_{n=1}^{\infty}b_n\, convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Versão para convergência de integrais[editar | editar código-fonte]

Sejam f e g funções satisfazendo:

  • f(x) \in C[a, + \infty] é tal que a sua antiderivada F no intervalo [a, + \infty] é limitada, ou seja, \exists M>0: \quad |F(x)| \le M \quad \forall x>a.
  • g(x) \in C^{1}[a, + \infty], \quad g(x)>0, \quad g'(x) \le 0 \quad \forall x>a.
  • \lim_{x \to + \infty}g(x)=0.

Nestas condições:

  • \int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

\int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx=\lim_{y\to\infty}\int_{a}^{+ y}f(x)g(x)dx

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

\int_{0}^{+ \infty}\frac{\sin(x)}{x}dx= \frac{\pi}{2}

mas

\int_{0}^{+ \infty}\frac{|\sin(x)|}{x}dx= \infty

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina:

  • R_N=\sum_{n=1}^N a_n,  ~N>0
  • S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n, ~N>0
  • R_0=S_0=0\,

Escreva para k>0:

S_{N+k}-S_N=\sum_{n=N+1}^{N+k}a_nb_n = \sum_{n=N+1}^{N+k}\left(R_n-R_{n-1}\right)b_n=\sum_{n=N+1}^{N+k}R_n b_n-\sum_{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_n \,

Trocando índices temos:

S_{N+k}-S_N=\sum_{n=N+1}^{N+k}R_n b_n-\sum_{n=N}^{N+k-1}R_n b_{n+1}= \sum_{n=N+1}^{N+k}R_n\left(b_n-b_{n+1}\right) -R_N b_{N+1}+R_{N+k-1}b_{N+k}\,

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que |b_n-b_{n+1}|=b_n-b_{n+1} pela monotocidade.

\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq\sum_{n=N+1}^{N+k}|R_n|\left(b_n-b_{n+1}\right) +|R_N| b_{N+1}+|R_{N+k-1}|b_{N+k}\,

Da primeira hipótese, |R_n|\leq M, e assim:

\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq M\sum_{n=N+1}^{N+k}\left(b_n-b_{n+1}\right) +M \left(b_{N+1}+b_{N+k}\right)\,

A soma telescópica pode ser simplificada:

\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right) +M \left(b_{N+1}+b_{N+k}\right)\leq 3M b_{N+1} \,

Como b_n\to 0, escolha N>0 tal que:

0\leq b_n \leq \frac{\varepsilon}{3M}, \forall n>N

Conclui-se que:

\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq \varepsilon \,

E portanto S_n é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Demonstração da versão para integrais[editar | editar código-fonte]

Integração por partes, obtemos a seguinte identidade para a<y_0<y_1\,:

\begin{array}{rcl}
\int_{y_0}^{y_1}f(x)g(x)dx &=& \int_{y_0}^{y_1}F'(x)g(x)dx\\
&=& \left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_0}^{y_1}-\int_{y_0}^{y_1}F(x)g'(x)dx
\end{array}

Agora estimamos cada um dos termos à direita:

\begin{array}{rcl}
\left|\int_{y_0}^{y_1}F(x)g'(x)dx \right|&\leq&\int_{y_0}^{y_1}|F(x)|\cdot|g'(x)|dx\leq M\int_{y_0}^{y_1}|g'(x)|dx\\
&=&-M\int_{y_0}^{y_1}g'(x)dx=M\left(g(y_0)-g(y_1)\right)
\end{array}

e

\begin{array}{rcl}
\left|\left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_0}^{y_1}\right|&=&\left|F(y_1)g(y_1)-F(y_0)g(y_0)\right|\leq M\left(g(y_1)+g(y_0)\right)
\end{array}

Somando essas estimativas, podemos construir a seguinte desigualdade:

a<y_0<y_1\,:

\begin{array}{rcl}
\left|\int_{y_0}^{y_1}f(x)g(x)dx\right| &\leq& M\left(g(y_0)-g(y_1)\right)+M\left(g(y_1)+g(y_0)\right)\\
&=&2M g(y_0)\to 0, \hbox{ quando } y_0\to \infty
\end{array}

e o resultado segue.