Tetração

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Torre de potência infinita

Em matemática, Tetração (também conhecida como hiper-4) é uma exponencial iterada, o primeiro hiper operador após a exponenciação. A palavra tetração foi cunhada pelo matemático Inglês Rubem Louis Goodstein de tetra- (quatro) e iteração. Tetração é usada como notação para números muito grandes, mas tem poucas aplicações práticas, por isso só tem sido estudada em matemática pura.

Aqui são mostrados exemplos dos primeiros quatro hiper operadores, com Tetração como o quarto:

  1. adição
    A primeira e mais simples operação.
  2. multiplicação
    a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
    geralmente também uma das operações primárias, mas em casos especiais (para os números naturais) podem ser vistos como a somado a si mesmo, nvezes.
  3. exponenciação
    a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
    a multiplicado por si mesmo, n vezes.
  4. tetração
    {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n
    a exponenciado por si mesmo, n vezes.

onde cada operação é definido pela iteração do anterior. A peculiaridade da tetração entre essas operações é que as três primeiras (adição, multiplicação e exponenciação) são generalizadas para os valores complexos de n, enquanto que para a tetração, nenhuma generalização regular foi ainda estabelecida; e a tetração, não é considerada uma função elementar.

Adição (a + n) é a operação mais básica, a multiplicação ( an ) é também uma operação primária, embora para números naturais pode ser pensado como uma adição encadeada envolvendo n números a, e exponenciação (a^n) pode ser pensado como uma multiplicação encadeada envolvendo n números a. Analogamente, Tetração (^{n}a) pode ser pensada como uma potência encadeada envolvendo n números a. O parâmetro a pode ser chamado de parâmetro-base a seguir, enquanto o parâmetro n a seguir pode ser chamado de parâmetro-altura (que é inteiro na primeira abordagem, mas pode ser generalizado para altura fracionária, real e complexa, veja abaixo)

Definição[editar | editar código-fonte]

Para qualquer número real positivo  a > 0 e inteiro não-negativo  n \ge 0 , definimos \,\! {^{n}a} por:

  • \,\! {^{n}a} = 1 (se  n = 0 ) e
  • \,\! {^{n}a} = a^{(^{n-1}a)} (se  n > 0 )

Potências iteradas[editar | editar código-fonte]

Como podemos ver a partir da definição, quando avaliando uma tetração em uma "torre de exponenciação", a exponenciação é feita no mais profundo nível primeiro (na notação, no nível mais alto). Em outras palavras:

\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65,\!536

Note-se que a exponenciação não é associativa, de modo que avaliando a expressão em outra ordem levará a uma resposta diferente:

\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256

Assim, as torres exponenciais devem ser avaliadas a partir de cima para baixo (ou da direita para a esquerda). Programadores referem-se a esta escolha como associativa à direita.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

Existem muitos termos para Tetração, cada qual tem alguma lógica por trás disso, mas alguns não se tornaram usados por uma razão ou outra. Aqui está uma comparação de cada termo, com suas razões e contra-razões.

  • O termo Tetração (Tetration), introduzido por Goodstein em seu artigo de 1947 Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory[1] (generalizando a representação-base recursiva usada no teorema de Goodstein para uso de altas operações), ganhou uma posição dominante. Também foi popularizado no Rudy Rucker em Infinity and the Mind.
  • O termo "superexponenciação" foi publicado por Bromer em seu artigoSuperexponentiation em 1987. [2] Foi utilizado anteriormente por Ed Nelson, em seu livro Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
  • O termo hiperpotência [3] é uma combinação natural de hiper e potência, que descreve adequadamente Tetração. O problema reside no significado de hiper em relação a hierarquia de hiper operadores. Ao considerar os hiper operadores, o termo hiper refere-se a todas as categorias, e a expressãosuperrefere-se ao rank 4, ou Tetração. Assim, sob estas considerações o termo hiperpotência é enganoso, uma vez que é apenas se refere a Tetração.
  • O termo torre de potência[4] é utilizado ocasionalmente, sob a forma "a torre de potência de ordem n" para {\ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop n}

Tetração é muitas vezes confundida com funções intimamente relacionadas e expressões. Isso ocorre porque grande parte da terminologia que é usada com elas pode ser usado com Tetração. Aqui estão alguns termos relacionados:

Forma Terminologia
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}} Tetração
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} Exponenciais iteradas
a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}} Exponenciais aninhadas (também torres)
a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} Exponenciais infinitas (também torres)

Nas duas primeiras expressões a é a 'base', e o número de vezes que aparece a é a altura (para adicionar umx) . Na terceira expressão, n é a altura, mas cada uma das bases é diferente.

Cuidados devem ser tomados ao se referir a exponenciais iteradas, como é comum chamar expressões dessas formas de exponenciação iterada, que é ambígua, pois isso pode significar função iterada, potência ou exponencial iterada.

Notação[editar | editar código-fonte]

As notações em que Tetração pode ser escrita (algumas das quais permitem mesmo níveis mais elevados de iteração) incluem:

Nome Forma Descrição
Notação padrão \,{}^{n}a Usada por Maurer [1901] e Goodstein [1947]; O livro de Rudy Rucker Infinity and the Mind popularizou a notação.
Notação de Knuth a {\uparrow\uparrow} n Permite extensão, ao colocar mais setas, ou, de forma ainda mais poderosa, uma seta indexada.
Notação de seta encadeada de Conway a \rightarrow n \rightarrow 2 Permite a extensão pelo aumento do número 2 (equivalente com as extensões acima), mas também, ainda mais poderosa, pela extensão da cadeia
Função de Ackermann {}^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3 Permite que o caso especial a=2 possa ser escrita em termos da função de Ackermann.
Notação da exponencial iterada {}^{n}a = \exp_a^n(1) Permite uma simples extensão a exponenciais iteradas a partir de valores iniciais diferentes de 1.
Notação de Hooshmand[5] \operatorname{uxp}_a n, \,  a^{\frac{n}{}}
Notação de hiper operador a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n) Permite a extensão ao aumentar o número 4; o que resulta na família de Hiperoperações
Notação ASCII a^^n Uma vez que a seta para cima é usado de forma idêntica para o acento circunflexo (^), o operador de tetração pode ser escrito como (^^).

Uma notação acima usa a notação exponencial iterada; em geral, esta é definida como segue:

\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} com n a's.

Não há muitas notações para exponenciais iteradas, mas aqui estão algumas:

Nome Forma Descrição
Notação padrão \exp_a^n(x) Euler cunhou a notação \exp_a(x) = a^x, e a notação de iteração f^n(x) tem sido comum desde então.
Notação de Knuth (a{\uparrow})^n(x) Pode ser usada para superpotências e superexponenciais, aumentando-se o número de setas; usado no artigo sobre Números muito grandes.
Notação de Ioannis Galidakis \,{}^{n}(a, x) Possível para grandes expressões na base.[6]
ASCII (auxiliar) a^^n@x Baseada na visão de que uma exponencial iterada é uma Tetração auxiliar.
ASCII (padrão) exp_a^n(x) Baseada na notação padrão.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Na tabela a seguir, a maioria dos valores são muito grandes para escrever em notação científica, de forma que a notação exponencial iterativa é utilizada para expressá-las em base 10. Os valores contendo um ponto decimal são aproximados.

x {}^{2}x {}^{3}x {}^{4}x
1 1 1 1
2 4 16 65,536
3 27 7,625,597,484,987 \exp_{10}^3(1.09902)
4 256 \exp_{10}^2(2.18788) \exp_{10}^3(2.18726)
5 3,125 \exp_{10}^2(3.33931) \exp_{10}^3(3.33928)
6 46,656 \exp_{10}^2(4.55997) \exp_{10}^3(4.55997)
7 823,543 \exp_{10}^2(5.84259) \exp_{10}^3(5.84259)
8 16,777,216 \exp_{10}^2(7.18045) \exp_{10}^3(7.18045)
9 387,420,489 \exp_{10}^2(8.56784) \exp_{10}^3(8.56784)
10 10,000,000,000 \exp_{10}^3(1) \exp_{10}^4(1)

Extensões[editar | editar código-fonte]

Tetração pode ser estendida para definir {^n 0} e outros domínios de função também.

Extensão de base zero[editar | editar código-fonte]

O exponencial 0^0 não é definido consistentemente. Assim, as tetrações \,{^{n}0} não estão claramente definidas pela fórmula dada anteriormente. No entanto, \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x é bem definido, e existe:

\lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x = \begin{cases} 1, & n \mbox{ par} \\ 0, & n \mbox{ ímpar} \end{cases}

Assim podemos definir de forma consistente {}^{n}0 = \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x. Isso é equivalente a definição  0^0 = 1 .

Sob essa extensão, {}^{0}0 = 1, então a regra  {^{0}a} = 1 a partir da definição original ainda se mantém.

Extensão para bases complexas[editar | editar código-fonte]

Tetração por período
Tetração pela fuga

Uma vez que números complexos podem ser elevados à potências, a tetração pode ser aplicada às bases da forma z = a + bi, onde i é a raiz quadrada de -1. Por exemplo,{}^{n}z onde z=i, a tetração é conseguida usando-se o ramo principal do logaritmo natural, e usando-se a fórmula de Euler obtemos a relação:


i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)

Isto sugere uma definição recursiva para {}^{(n+1)}i = a'+b'i dado qualquer {}^{n}i = a+bi:

a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Os seguintes valores aproximados podem ser derivados:

{}^{n}i Valor aproximado
{}^{1}i = i i
{}^{2}i = i^{\left({}^{1}i\right)} 0.2079
{}^{3}i = i^{\left({}^{2}i\right)} 0.9472 + 0.3208i
{}^{4}i = i^{\left({}^{3}i\right)} 0.0501 + 0.6021i
{}^{5}i = i^{\left({}^{4}i\right)} 0.3872 + 0.0305i
{}^{6}i = i^{\left({}^{5}i\right)} 0.7823 + 0.5446i
{}^{7}i = i^{\left({}^{6}i\right)} 0.1426 + 0.4005i
{}^{8}i = i^{\left({}^{7}i\right)} 0.5198 + 0.1184i
{}^{9}i = i^{\left({}^{8}i\right)} 0.5686 + 0.6051i

Resolvendo a relação inversa como na seção anterior, retorna o esperado \,{}^{0}i = 1 and \,{}^{(-1)}i = 0, com valores negativos de n dando infinitos resultados sobre o eixo imaginário. Plotados no plano complexo, a seqüência inteira espiraliza até o limite de 0.4383 + 0.3606i, o que poderia ser interpretado como o valor onde n é infinito.

Tais seqüências de Tetração têm sido estudadas desde a época de Euler, mas são pouco conhecidas devido ao seu comportamento caótico. A maioria das pesquisas publicadas, historicamente tem-se centrado sobre a convergência da função de torre de potências. A pesquisa atual tem se beneficiado muito com o advento de poderosos computadores com softwares de matemática fractal e matemática simbólica. Muito do que se sabe sobre Tetração vem de conhecimentos gerais da dinâmica complexa e pesquisas específicas do mapa exponencial.

Extensão para alturas infinitas[editar | editar código-fonte]

Tetração pode ser estendida para alturas infinitas (n em {}^{n}a). Isto porque para bases dentro de um determinado intervalo, a Tetração converge para um valor finito a medida que a altura tende a infinito. Por exemplo, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} converge para 2, e pode, portanto, ser considerada igual a 2. A tendência para o 2 pode ser vista pela avaliação de uma pequena torre finita:

\begin{align}
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.41}}}}} &= \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\
&= \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\
&= \sqrt{2}^{1.89} = 1.93
\end{align}

Em geral, a torre de potência infinita x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}, definida como o limite de {}^{n}x tendo n indo para o infinito, converge para ee ≤ x ≤ e1/e, aproximadamente o intervalo de 0.066 a 1.44, resultado mostrado por Leonhard Euler. O limite, se existir, é uma solução real positiva da equação y = xy. Assim, x = y1/y. O limite que define a Tetração infinita de x falha em convergir para x > e1/e porque o máximo de y1/y é e1/e.

Isso pode ser estendido para os números complexos z com a definição:

{}^{\infty}z = z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}}

onde W(z) representa a Função de Lambert.

Como o limite y = x (se existente, ou seja, para ee < x < e1/e) deve satisfazer xy = y vemos que x ↦ y = x é (o menor ramo) da função inversa de y ↦ x = y1/y.

Extensão limitada às alturas negativas[editar | editar código-fonte]

A fim de preservar a regra original:

 {^{(k+1)}a} = a^{({^{k}a})}

para valores negativos de k devemos usar a relação recursiva:

 {^{k}a} = \log_a \left( {^{(k+1)}a} \right)

Assim:

 {}^{(-1)}a = \log_{a} \left( {}^{0}a \right) = \log_{a} 1 = 0

No entanto valores negativos menores não podem ser bem definidos desta forma, porque

 {}^{(-2)}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_{a} 0

que não está bem definido.

Note ainda que para  n = 1 qualquer definição de \,\! {^{(-1)}1} é consistente com a regra, porque

 {^{0}1} = 1 = 1^n para qualquer \,\! n = {^{(-1)}1} .

Extensão às alturas reais[editar | editar código-fonte]

Neste momento não há solução comumente aceita para o problema geral de estender a Tetração aos valores reais ou complexos de n. Várias abordagens são mencionadas abaixo.

Em geral, o problema é encontrar, para qualquer real a > 0, uma função super-exponencial " \,f(x) = {}^{x}a sobre os reais x > -2 que satisfaça

  • \,{}^{(-1)}a = 0
  • \,{}^{0}a = 1
  • \,{}^{x}a = a^{\left({}^{(x-1)}a\right)} para todo real x > -1.
  • A quarta exigência, que é normalmente uma das seguintes:
  • A exigência de continuidade (normalmente, apenas {}^{x}a é contínua em ambas as variáveis para x > 0).
  • A exigência de diferenciabilidade (pode ser uma, duas, k vezes, ou infinitamente diferenciável em x).
  • A exigência de regularidade (implicando duas vezes diferenciável em x) que:
\left( \frac{d^2}{dx^2}f(x) > 0\right) for all  x > 0

A quarta exigência difere de autor para autor, e entre abordagens. Existem duas abordagens principais para estender a Tetração às alturas reais; uma baseia-se na exigência de regularidade, e o outro é baseado na exigência de diferenciabilidade. Estas duas abordagens parecem ser tão diferentes que não podem ser conciliadas, pois elas produzem resultados inconsistentes uma com a outra.

Felizmente, uma solução que satisfaça um destes em um intervalo de tamanho um pode ser estendida para uma solução para todos os números reais positivos. Quando \,{}^{x}a é definida para um intervalo de comprimento um, a função toda segue facilmente para todos x > -2.

Aproximações polinomiais[editar | editar código-fonte]

Aproximação linear[editar | editar código-fonte]

Uma aproximação linear (solução para a exigência de continuidade, aproximação, com a exigência de diferenciabilidade) é dada por:

{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a({}^{(x+1)}a) & x \le -1 \\
1 + x & -1 < x \le 0 \\
a^{\left({}^{(x-1)}a\right)} & x > 0
\end{cases}

Assim:

Aproximação Domínio
\,{}^{x}a \approx x+1 for -1<x<0
\,{}^{x}a \approx a^x for 0<x<1
\,{}^{x}a \approx a^{a^{(x-1)}} for 1<x<2

e assim por diante. No entanto, é apenas diferenciável em seções; em valores inteiros de x a derivada é multiplicada por \ln{a}.

Exemplos: \,{}^{(\pi / 2)}e \approx 5.868...,\; {}^{-4.3}0.5 \approx 4.03335...,\;

\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{n}{}} Torre de potência infinita.

Um teorema principal no artigo de Hooshmand [5] diz: Seja  0 <a \neq 1. Se f:(-2,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} é contínua e satisfaz as condições:

  •  f(x)=a^{f(x-1)} \; \; \mbox{for all} \; \; x>-1, \; f(0)=1 ,
  • f é diferenciável em (-1,0),
  • f^\prime é uma função não decrescente ou não crescente em  (-1,0),
  • f^\prime (0^+) = (\ln a) f^\prime (0^-) \mbox{ or } f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^-).

então f é unicamente determinada através da equação

 \; \; \; f(x)=\exp^{[x]}_a (a^{(x)})=\exp^{[x+1]}_a((x)) \; \; \; \mbox{for all} \; \; x>-2,

onde  (x)=x-[x] denota a parte fracionária de x e  \exp^{[x]}_a é a  [x] -função iterada da função  \exp_a .

A prova é que da segunda até a quarta condições implicam trivialmente que f é uma função linear em [-1, 0].

A aproximação linear para a função de tetração natural {}^xe é continuamente diferenciável, mas a sua segunda derivada não existe em valores inteiros de seu argumento. Hooshmand derivou outro teorema de unicidade para ela, que afirma:

Se  f: (-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R} é uma função contínua que satisfaz:

  •  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; \mbox{for all} \; \; x>-1, \; f(0)=1 ,
  • f is convex on (-1,0),
  • f^\prime (0^-)\leq f^\prime (0^+).

então f=\mbox{uxp}. [Aqui f=\mbox{uxp} é o nome de Hooshmand para a aproximação linear para a função tetração natural.]

A prova é a mesma coisa de antes; a equação de recursão garante que f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^+), e, em seguida, a condição de convexidade implica que f é linear em (-1, 0).

Portanto, a aproximação linear para Tetração natural é a única solução da equação  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; (x>-1) e f(0)=1 o que é convexo em (-1,+\infty). Todas as outras soluções suficientemente diferenciáveis devem ter um ponto de inflexão no intervalo (-1, 0).

Aproximações de alta ordem[editar | editar código-fonte]

Uma aproximação quadrática (à exigência diferenciabilidade) é dada por: \log_a({}^{(x+1)}a) & x \le -1 \\ 1 + \frac{2\log(a)}{1+\log(a)}x - \frac{1-\log(a)}{1+\log(a)}x^2 & -1 < x \le 0 \\ a^{\left({}^{(x-1)}a\right)} & x > 0 \end{cases}</math> que é diferenciável para todo x > 0, mas não duas vezes diferenciável. Sea = e isto é o mesmo que a aproximação linear.

A aproximação cúbica e um método para a generalização das aproximações de grau n são dadas em [7] .

Extensão para alturas complexas[editar | editar código-fonte]

Desenho da extensão analítica f=F(x+{\rm i}y) de Tetração ao plano complexo. Níveis |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots e níveis \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots são mostrados com curvas espessas.

Existe uma conjectura[8] que existe uma única função F, que é uma solução da equação F(z+1)=exp(F(z)) e satisfaz as condições adicionais que F(0)=1 and F(z) se aproxima dos pontos fixos do logaritmo (aproximadamente 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890i) a medida que z se aproxima de ±i∞ e que F é holomorfa em todo o plano-z complexo, exceto a parte do eixo real em z≤−2. Esta função é mostrada na figura à direita.

A aproximação de precisão complexa dupla dessa função está disponível online.[9]

A exigência de holomorfismo da tetração é importante para a singularidade. Muitas funções S podem ser construídas como

S(z)=F\!\left(~z~
+\sum_{n=1}^{\infty} \sin(2\pi n z)~ \alpha_n
+\sum_{n=1}^{\infty} \Big(1-\cos(2\pi n z) \Big) ~\beta_n \right)

onde \alpha e \beta são seqüências reais que se decompõem com rapidez suficiente para proporcionar a convergência da série, pelo menos em valores moderados de \Im(z).

A função S satisfaz as equações da tetração S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, e se αn e βn se aproxima de 0 rápido o suficiente ela será analítica em uma vizinhança do eixo real positivo. No entanto, se alguns elementos de {α} ou {β} não são zero, então a função S tem uma multidão de singularidades adicionais e linhas de corte no plano complexo, devido ao crescimento exponencial do seno e cosseno ao longo do eixo imaginário; quanto menor o coeficiente {α} e{β} são, quanto mais longe estas singularidades são do eixo real.

A extensão da tetração no plano complexo é, portanto, essencial para a singularidade; a tetration real-analítica não é única.

Funções inversas[editar | editar código-fonte]

A funções inversas das tetrações são freqüentemente chamadas de super-raízes e super-logaritmos. A raiz super quadrada \mathrm{ssrt}(x) que é a função inversa de x^x pode ser representada com a Função W de Lambert:

\mathrm{ssqrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}

Para cada inteiro n > 2, a função nx é definida e crescente para x ≥ 1, en1 = 1, de modo que a n-ésima super-raiz de x existe para x ≥ 1.

No entanto, se a aproximação linear acima é usada, então yx = y + 1 se -1≤y≤0, então ysuper-raiz(y + 1) não pode existir.

Uma vez que uma definição crescente (em x) da tetração xa é selecionada, o correspondente super-logaritmo sloga x é definido para todos os números reais x, e a > 1.

A função \mathrm{slog}_a satisfaz:

\mathrm{slog}_a {^x a} = x
\mathrm{slog}_a a^x = 1 + \mathrm{slog}_a x
\mathrm{slog}_a x = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a x
\mathrm{slog}_a x > -2

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. R. L. Goodstein. (12 1947). "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory". Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123-129. DOI:10.2307/2266486. Página visitada em 2009-04-17.
  2. N. Bromer. (1987). "Superexponentiation". Mathematics Magazine 60 (3): 169-174.
  3. J. F. MacDonnell. (1989). "Somecritical points of the hyperpower function x^{x^{\dots}}". International Journal of Mathematical Education 20 (2): 297-305.
  4. Eric W. Weisstein, Power Tower em MathWorld
  5. a b M. H. Hooshmand. (2006). "Ultra power and ultra exponential functions". Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549-558. DOI:10.1080/10652460500422247.
  6. Ioannis Galidakis. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals.
  7. Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm.
  8. KOUZNETSOV, D.. (July 2009). "Solution of F(z+1)=\exp(F(z)) in complex z-plane". Mathematics of Computation 78 (267): 1647–1670. DOI:10.1090/S0025-5718-09-02188-7.
  9. Mathematica code for evaluation and plotting of the tetration and its derivatives.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]