Topologia grosseira

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Em topologia, um espaço topológico diz-se grosseiro,[Nota 1] trivial [1] ou indiscreto [2] se os seus únicos abertos são o conjunto vazio e o próprio X.[1] [2]

Um espaço topológico é um conjunto com uma estrutura a mais; esta estrutura é que permite definir, neste conjunto, o que são funções contínuas.[3]

Existem várias definições equivalentes do que seja um espaço topológico.[1] A forma mais usual [carece de fontes?] é definir esta estrutura sobre o conjunto X como um outro conjunto T, cujos elementos são subconjuntos de X, chamados de conjuntos abertos, e que satisfaz determinados axiomas, dentre os quais que X \in T\, e \varnothing \in T\,.[3] [1] A topologia grosseira é a "menor" topologia possível, ou seja, é aquela em que apenas X e \varnothing\, são conjuntos abertos.[1] [4]

Por ser cada topologia um conjunto, eles podem ser parcialmente ordenados por inclusão, ou seja, é possível definir quando uma topologia é mais grosseira que outra ou, inversamente, quando uma topologia é mais fina que outra. Uma topologia T é mais grosseira que T' (ou seja, T' é mais fina que T) quando T \subset T'\, Uma topologia mais grosseira tem menos conjuntos abertos do que uma topologia mais fina. A topologia grosseira tem este nome por ser mais grosseira que qualquer outra topologia. Analogamente, no outro extremo existe a topologia discreta, que é mais fina que todas outras.[1] [4]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um espaço grosseiro:

  • Se o espaço X tem pelo menos dois pontos distintos x e y, então estes pontos (e quaisquer outros dois pontos) são topologicamente indistinguíveis.[carece de fontes?] Ou seja, este espaço não é T0.[5] [Nota 2]
  • é conexo [2]
  • é compacto
  • Seja p um ponto qualquer do espaço X e S um subconjunto de X. Diz-se que p é um ponto limite de S quando qualquer aberto da topologia que contenha p também contém outro ponto de S distinto de p. Na topologia indiscreta, para todo subconjunto S com pelo menos um elemento, todo ponto p do espaço X (exceto no caso de S = { p } ) é um ponto limite de S.[Nota 3] [2]
  • Toda função cujo contradomínio é a topologia indiscreta é uma função contínua.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. Na literatura matemática em inglês, coarse.
  2. A demonstração é tão imediata que é deixada como exercício.
  3. No texto de Watkins, a notação de S e X é invertida: S é o espaço todo e X o subconjunto de S.

Referências

  1. a b c d e f A. Candel, Three dimes of Topology, Class Notes for Math 262, Winter 95-96, The University of Chicago, Chapter I. Topological Spaces [em linha]
  2. a b c d e Thayer Watkins, Foundations of Point Set Topology [em linha]
  3. a b Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 1. The Concept of Topological Space [em linha]
  4. a b Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 2. Bases and subbases
  5. Vipul Naik, Topology: The Journey into Separation Axioms, 2. What are Separation Axioms?, 2.3 Quasiorder by closure, Concept Testers [em linha]
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