Traço (álgebra linear)

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Na álgebra linear, o traço de uma matriz quadrada é a função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da sua diagonal principal.[1] Se A=[aij], então

\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} \,.

O traço de uma aplicação linear num espaço vectorial de dimensão finita é o traço da matriz que representa essa aplicação em relação a uma dada base. Este traço está bem definido porque o traço de uma matriz é invariante por semelhanças (o que é uma consequência do facto de que tr(AB)=tr(BA), para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
tr(λA)=λtr(A)
  • o traço de uma matriz quadrada é igual ao da sua transposta:
tr(A)=tr(AT)
  • o traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos seus valores próprios (autovalores).
  • o traço de um produto de matrizes quadradas não depende da ordem do produto:
tr(AB)=tr(BA)
  • Seja \{e_k\}_{k=1}^{n} uma base ortonormal para o espaço linear em questão, então a definição pode ser reescrita como:
\hbox{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n}\lang Ae_k,e_k \rang\,


Generalização[editar | editar código-fonte]

Seja H\, um espaço de Hilbert separável e \{e_k\}_{k=1}^{\infty}\, uma família ortonormal densa em H\,. O traço de um operador A:H\to H\, é definido como:

\hbox{tr}(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\lang Ae_k,e_k \rang\, contanto que a série:
\sum_{k=1}^{\infty}\|Ae_k\|\, convirja.

Um operador para o qual o traço está definido é chamado de operador classe tracial e é sempre compacto.

Referências

  1. Mathematik.de, Matrizen, 3.4 Spur einer quadratischen Matrix [em linha]
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