Traço (álgebra linear)

Na álgebra linear, o traço de uma matriz quadrada é a função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da sua diagonal principal. Se A=[a_ij], então

$\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} \,$.

O traço de uma aplicação linear num espaço vectorial de dimensão finita é o traço da matriz que representa essa aplicação em relação a uma dada base. Este traço está bem definido porque o traço de uma matriz é invariante por semelhanças (o que é uma consequência do facto de que tr(AB)=tr(BA), para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).

Propriedades

• o traço é linear:

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)

tr(λA)=λtr(A)

• o traço de uma matriz quadrada é igual ao da sua transposta:

tr(A)=tr(A^T)

• o traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos seus valores próprios (autovalores).
• o traço de um produto de matrizes quadradas não depende da ordem do produto:

tr(AB)=tr(BA)

• Seja $\{e_k\}_{k=1}^{n}$ uma base ortonormal para o espaço linear em questão, então a definição pode ser reescrita como:

$\hbox{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n}\lang Ae_k,e_k \rang\,$

Generalização

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert separável e $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}\,$ uma família ortonormal densa em $H\,$. O traço de um operador $A:H\to H\,$ é definido como:

$\hbox{tr}(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\lang Ae_k,e_k \rang\,$ contanto que a série:

$\sum_{k=1}^{\infty}\|Ae_k\|\,$ convirja.

Um operador para o qual o traço está definido é chamado de operador classe tracial e é sempre compacto.