Traço parcial

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Em álgebra linear e análise funcional o traço parcial é uma generalização do traço, onde o traço é uma grandeza escalar e o traço parcial é um operador funcional.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha que V e W são espaços vetoriais de dimensões finitas sobre um corpo, com m e n dimensões, respectivamente. Para qualquer espaço A assuma que L(A) indique o espaço dos operadores lineares em A. O traço parcial sobre W, Tr_W, é um mapeamento de

  T \in \operatorname{L}(V \otimes W) \mapsto \operatorname{Tr}_W (T) \in \operatorname{L}(V)

isto é definido da seguinte forma: suponha que

e_1, \ldots, e_m

e

f_1, \ldots, f_n

sejam as bases para V e W respectivamente; então T possui uma matriz de representação

 \{a_{k \ell, i j}\}  \quad 1 \leq k, i \leq m, \quad 1 \leq \ell,j \leq n

relativa à base

 e_k \otimes f_\ell

de

 V \otimes W.

agora para os índices k e i no alcance 1, \ldots, m , considere a soma

 b_{k, i} = \sum_{j=1}^n a_{k j, i j}.

Isto nos fornece a matriz b_{k, i}. O operador de associação linear em V é independente da escolha das bases e é por definição o traço parcial.

Definição invariante[editar | editar código-fonte]

O operador do traço parcial pode ser definido de forma invariante (ou seja, sem dependente de uma base) como segue: isto é o operador linear único

 \operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \rightarrow \operatorname{L}(V)

de forma que

 \operatorname{Tr}_W(R \otimes S) = R \, \operatorname{Tr}(S) \quad \forall R \in \operatorname{L}(V) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W).

Desta definição abstrata, obtém-se as seguintes propriedades:

 \operatorname{Tr}_W (I_{V \otimes W}) = \dim W \ I_{V}
 \operatorname{Tr}_W (T (I_V \otimes S)) = \operatorname{Tr}_W ((I_V \otimes S) T) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W) \quad \forall T \in \operatorname{L}(V \otimes W).

Traços parciais para operadores no espaço de Hilbert[editar | editar código-fonte]

O traço parcial generaliza para operadores no espaço de Hilbert com infinitas dimensões. Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert, e que

 \{f_i\}_{i \in I}

seja uma base ortogonal para W. Então existe um isomorfismo isométrico

  \bigoplus_{\ell \in I} (V \otimes \mathbb{C}   f_\ell) \rightarrow V \otimes W

Sob esta decomposição, qualquer operador  T \in \operatorname{L}(V \otimes W) pode ser considerado como uma matriz infinita de operadores em V

 \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \ldots & T_{1 j} & \ldots \\
                        T_{21} & T_{22} & \ldots & T_{2 j} & \ldots \\
                         \vdots & \vdots & & \vdots \\
                        T_{k1}& T_{k2} & \ldots & T_{k j} & \ldots \\
                        \vdots  & \vdots & & \vdots 
\end{bmatrix},

onde  T_{k \ell} \in \operatorname(V) .

Agora suponha que T seja um operador não negativo. Neste caso, todas as diagonais da matriz são operadores não negativos em V. Se a soma

 \sum_{\ell} T_{\ell \ell}

converge na topologia de operador forte de L(V), isto é independente da base escolhida de W. O traço parcial Tr_W(T) é definido como sendo seu operador. O traço parcial do operador autoadjunto é definido se e somente se o traço parcial das partes positivas e negativas são definidas.

Traço parcial e integral invariante[editar | editar código-fonte]

No caso de espaços de Hilbert com finitas dimensões, existe uma forma útil de buscar o traço parcial e envolve integral no que diz respeito a uma medida de Haar devidamente normalizada μ sobre o grupo unitário U(W) de W.

Teorema[editar | editar código-fonte]

Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert com finitas dimensões. Então

 \int_{\operatorname{U}(W)} (I_V \otimes U^*) T (I_V \otimes U) \ d \mu(U)

comuta com todos os operadores da forma  I_V \otimes S e daqui é de forma unicamente  R \otimes I_W . O operador R é o traço parcial de T.

Traço parcial como uma operação quântica[editar | editar código-fonte]

O traço parcial pode ser visto como uma operação quântica. Considere um sistema na mecânica quântica em que o estado do espaço é o produto do tensor H_A \otimes H_B dos espaços de Hilbert. Um estado misto é descrito por uma matriz densidade ρ, que é um operador de classe tracial não negativa de traço 1 no produto do tensor  H_A \otimes H_B . O traço parcial de ρ com respeito ao sistema B, indicado por \rho ^A, é chamado de estado reduzido de ρ no sistema A

\rho^A = \operatorname{Tr}_B \rho.

Para demonstrar que isto é de fato uma forma razoável para atribuir um estado ρ em um subsistema A, suponha que M seja um observável no subsistema A, então o observável correspondente no sistema composto é M \otimes I. Entretanto se escolhermos para definir um estado reduzido \rho^A, deve existir uma medição estatística consistente. O valor esperado de M após o subsistema A é preparado em \rho ^A e M \otimes I quando o sistema composto é preparado em ρ deve ser identico, isto é

\operatorname{Tr} ( M \cdot \rho^A) = \operatorname{Tr} ( M \otimes I \cdot \rho).

Vemos que isto é satisfeito se \rho ^A é definido como acima através de traços parciais.

Suponha que T(H) seja o espaço de Banach de operadores de classe tracial no espaço de Hilbert H. Isto pode ser verificado que o traço pacial, visto como um mapeamento

\operatorname{Tr}_B : T(H_A \otimes H_B) \rightarrow T(H_A)

é sempre positivo e preservador do traço.

O mapeamento do traço parcial como dado acima induz a um duplo mapeamento \operatorname{Tr}_B ^* entre os operadores limitados da C*-álgebra em \; H_A e H_A \otimes H_B dado por

\operatorname{Tr}_B ^* (A) = A \otimes I.

\operatorname{Tr}_B ^* mapeia observáveis para observáveis e é a representação de Heisenberg de \operatorname{Tr}_B.

Comparação com a mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Suponha que ao invés de sistemas na mecânica quântica, os dois sistemas A e B são sistemas na mecânica clássica. O espaço dos observáveis para cada sistema são, então, C*-álgebras abelianas. Então são da forma C(X) e C(Y) respectivamente para espaços compactos X e Y. Estes estados de sistemas compostos são

C(X) \otimes C(Y) = C(X \times Y).

Um estado num sistema composto é um elemento positivo ρ da dupla de C(X \times Y), que segundo teorema da representação de Riesz corresponde a uma medição regular de Borel em X \times Y. Então o traço parcial é o equivalente da mecânica quântica desta operação.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]