Trajetória ortogonal

Uma equação da forma $f(x,y)=c$, onde $c$ é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersetam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90$^{\circ }$.

Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas $f(x,y)=c$, é necessário encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja $f(x,y)=c$; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior.

${\partial f \over \partial x}+{\dfrac {\partial f}{\partial y}}{dy \over dx}=0\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}=-$ ${\dfrac {\partial f}{\partial x}} \over {\dfrac {\partial f}{\partial y}}$

A derivada $dy/dx$ representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado

${dy \over dx}=$${\dfrac {\partial f}{\partial y}} \over {\dfrac {\partial f}{\partial x}}$

a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais.

Exemplo

Encontre as trajetórias ortogonais da família de círculos com centro na origem.

Família de círculos com centro na origem e trajetórias ortogonais.

A equação dos círculos com centro na origem é

$x^{2}+y^{2}=c^{2}$

onde o parâmetro $c$ pode ter qualquer valor positivo a equação diferencial cuja solução geral é essa família de círculos obtém-se por derivação implícita

$2x+2yy'=0\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}=-{x \over y}$

e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é

${dy \over dx}={\frac {y}{x}}$

A solução desta equação de variáveis separáveis é

$y=ax$

que corresponde a uma família de retas que passam pela origem; a constante de integração é declive das retas. A figura mostra a família de curvas e as trajetórias ortogonais.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli