Transformada de Fourier

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A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,[1] é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da transformada Z.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em física, física e química quântica, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, processamento de imagem, teoria das probabilidades, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sismologia, óptica, geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.

  • As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.
  • As funções de base senoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Por exemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo o comportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)

Série seno de Fourier[editar | editar código-fonte]

A seguinte sucessão de funções seno:


  \Bigg\{S_n(x) = \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\Bigg\}

são todas ortogonais; nomeadamente:


  \langle S_n, S_m \rangle = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    0, & n \neq m\\ \frac{L}{2}, & n = m
  \end{array}

em relação ao produto escalar entre funções. [2] Qualquer outra função definida no intervalo 0 < x < L é linearmente dependente do conjunto de funções S_n (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, qualquer função f(x) definida no dito intervalo pode ser escrita como combinação linear da sucessão \{S_n\}:


  f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)

a série anterior é designada por série seno de Fourier. É fácil demonstrar (usando a ortogonalidade entre as funções S_n) que os coeficientes b_n na série são iguais a:


  a_n = \frac{2}{L}\langle f, S_n\rangle
  = \frac{2}{L}\int_0^L f(x) \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg) d x

o integral anterior chama-se transformada seno de Fourier da função f(x).

Série co-seno de Fourier[editar | editar código-fonte]

Outra sucessão de funções ortogonais é a sucessão de funções co-seno, definida por:


  \Bigg\{C_n(x) = \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\Bigg\}

A propriedade de ortogonalidade é:


\langle C_n, C_m \rangle = \Bigg\{\begin{array}{ll}
0, & n \neq m\\ \frac{L}{2}, & n = m \neq 0 \quad \text{(ou L se n=m=0)}\end{array}

Qualquer função definida no intervalo 0 < x < L é linearmente dependente do conjunto de funções C_n (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, uma função f(x) pode também ser escrita como uma série co-seno de Fourier:


  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)

onde os coeficientes a_n são iguais a:


  a_n = \frac{2}{L}\langle f, C_n\rangle
  = \frac{2}{L}\int_0^L f(x) \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg) d x

e o integral anterior designa-se transformada co-seno de Fourier da função f(x).

Resolução de EDPs usando transformadas de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier é útil para resolver equações de derivadas parciais, de segunda ordem, com condições fronteira. [2] Se v(x,y) for a variável dependente, e tivermos condições fronteira para x = 0 e x = L, começamos por definir a transformada de Fourier da seguinte forma


  \overline{v}_n(y) = \frac{2}{L} \langle v(x,y), \phi_n(x)\rangle

onde \phi_n será uma das seguintes funções próprias:


  \phi_n(x) = \Bigg\{
  \begin{array}{l}
    \sin(\lambda_n x) \\ \cos(\lambda_n x)
  \end{array}

e \lambda_n são certos valores próprios escolhidos em forma adequada.

Propriedade operacional[editar | editar código-fonte]

A transformada da segunda derivada tem a propriedade importante (propriedade operacional) de depender da transformada da função. Por definição, a transformada da segunda derivada parcial é


  \Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}} \Bigg)_n = \frac{2}{L} \langle \phi_n,
  {\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\rangle

integrando por partes duas vezes obtemos:


\begin{align}
  \Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\Bigg)_n &= \frac{2}{L} \int_0^L \phi_n
  {\partial^2{v}\over {x^2}} d x \\
  &= \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}} \phi_n\Bigg|_0^L - \int_0^L \phi_n'
  {\partial{v} \over \partial{x}} d x\Bigg) \\
  &= \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}} \phi_n - v \phi_n'\Bigg)_0^L +
  \frac{2}{L} \int_0^L \phi_n' v d x
\end{align}

a segunda derivada das funções próprias é sempre (tanto no caso do seno como no caso do co-seno) proporcional a si própria


  \phi_n'' = -\lambda_n^2 \phi_n

Assim, a propriedade operacional é


\Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\Bigg)_n = \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}}(L) \phi_n(L) - v(L) \phi_n'(L) - {\partial{v} \over \partial{x}}(0) \phi_n(0) + v(0) \phi_n'(0) \Bigg) - \lambda_n^2 \overline{v}_n

Como vamos resolver uma equação de segunda ordem, são dadas apenas duas condições fronteira que permitem calcular dois dos termos dentro dos parêntesis. Podemos usar a liberdade que temos na escolha das funções e valores próprios, para eliminar os outros dois termos dentro dos parêntesis. Estudaremos as quatro possibilidades:

  • Os valores de v(0,y) e v(L,y) são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n(0) = \phi_n(L) = 0

O qual determina as seguintes funções e valores próprios


    \phi_n(x) = \sin(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \frac{n \pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada seno de Fourier.

  • Os valores de \partial v(0,y)/\partial x e \partial v(L,y)/\partial x são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n'(0) = \phi_n'(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \cos(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \frac{n \pi}{L}

A transformada transformada é a transformada co-seno de Fourier.

  • Os valores de v(0,y) e \partial v(L,y)/\partial x são dados. Neste

caso será necessário arbitrar


    \phi_n(0) = \phi_n'(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \sin(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \bigg(n + \frac{1}{2}
    \bigg)\frac{\pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada seno modificada.

Os valores de \partial v(0,y)/\partial x e v(L,y) são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n'(0) = \phi_n(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \cos(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \bigg(n + \frac{1}{2}
    \bigg)\frac{\pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada co-seno modificada.

Transformada contínua de Fourier[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com frequência angular ω,medida em rad/s, e amplitude complexa F(ω):

 \mathcal{F}(\omega) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\omega))
 =  \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

Na área de processamento de sinais, utiliza-se a definição em termos de frequências ordinárias, medidas em hertz:

 \mathcal{F}_0(f) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi ift}\,dt

f(t) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}_0(f) e^{2\pi ift}\,df.

A relação entre as duas definições é dada por:

\mathcal{F}_0(f) =  \mathcal{F}(2\pi f)

Existe também uma definição simétrica, como F0, e que usa a frequência angular, como F, que denotaremos F1

 \mathcal{F}_1(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \mathcal{F}_1^{-1}(\mathcal{F}_1(\omega))
 =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.[3]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se adotarmos a convenção

F(\omega) \;=\; \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\}

e denotarmos as derivadas de F(ω) como F'(ω), F"(ω) etc., então valem as seguintes propriedades:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t) \right\} \;=\; a \cdot \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \;+\; b \cdot \mathcal{F} \left\{ g(t) \right\} \qquad a,b \in \mathbb{C}[4]

Similaridade[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} \;=\; \frac{1}{|a|} \cdot F \left( \frac{\omega}{a} \right)  \qquad a \in \mathbb{C}[5]

Deslocamento[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t \;-\; a) \right\} \;=\; e^{- i a \omega} \cdot \mathcal{F}\left\{ f(t) \right\} \qquad a \in \mathbb{C}[6]


\mathcal{F} \left\{ e^{i a t} \cdot f(t) \right\} \;=\; F(\omega - a) \qquad a \in \mathbb{C}[7]

Modulação[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \; cos(bt) \right\} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;+\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}[8]

Transformada da derivada[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ \frac{d}{dt} \; f(t) \right\} \;=\; i \omega \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} [9]

Essa propriedade é também conhecida como propriedade operacional. Uma expressão mais geral é

\mathcal{F} \left\{ \frac{d ^ q}{dt ^q} \; f(t) \right\} \;=\; i \omega \; ^q \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} \qquad q \in \mathbf{R}

onde \frac{d ^ q}{dt ^q} indica uma derivada fracionária[10] .

Convolução[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Teorema da convolução)

\mathcal{F} \left\{ f(t) * g(t) \right\} \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{F} \{ g(t) \}

\frac{d}{dt} \left[ f(t) * g(t) \right] \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ g(t) \} \;=\; \mathcal{F} \{ g(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ f(t) \}

onde o asterisco denota a operação de convolução[11] .

Teorema da autocorrelação[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \;*\; f^*(-t) \right\} \;=\; \left| \mathcal{F} \{ f(t) \} \right| ^2

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo e o asterisco normal denota a operação de convolução. Essa propriedade é uma caso especial do Teorema da convolução e está relacionado também ao Teorema de Wiener[12] .

Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Teorema de Parseval)


\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} f(t) \right| ^2 dt \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} \mathcal{F} \{ f(t) \} \right| ^2 d \omega


\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot g^*(t) \; dt \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{}{} \mathcal{F} \{ f(t) \} \right) \cdot \left( \frac{}{} \mathcal{F} \{ g(t) \} \right) ^* d \omega

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo[13] .

Derivada da transformada[editar | editar código-fonte]

\frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \left\{ \; f(t) \right\} \;=\; - \; i \; \mathcal{F} \left\{ t \cdot f(t) \right\}[7]

Momento de ordem n[editar | editar código-fonte]

\int_{-\infty}^{\infty} t^n \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d^n}{d \omega^n} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; i^n \; F^n(0) \qquad n \in \mathbf{N}

Casos especiais:

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; F(0)

\int_{-\infty}^{\infty} t \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; i \; F'(0)

\int_{-\infty}^{\infty} t^2 \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d^2}{d \omega^2} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; - \; F''(0)[14] .

Valor final[editar | editar código-fonte]

\lim_{\omega \to \infty} \left| \frac{}{} \omega \frac{}{} \right| ^n \cdot F(\omega) \;=\; 0 \qquad n \in \mathbf{Z}[15] .

Largura equivalente[editar | editar código-fonte]

\left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \; dt \right] \cdot \left[ \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \; d \omega \right] \;=\; f(0) \cdot F(0)[16]

Limites superiores[editar | editar código-fonte]

\left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \;\le\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega

\left| \frac{d}{dt} f(t) \right| \;\le\; \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} \omega \cdot F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega[17]

Relação de incerteza[editar | editar código-fonte]

Se definirmos as quantidades


\Delta t \;=\; \frac{ \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \cdot \left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \; dt} {\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \; dt} \qquad e \qquad \Delta \omega \;=\; \frac{ \int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 \cdot \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega} {\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega}


podemos escrever


\Delta t \cdot \Delta \omega \;\le\; \frac{1}{2}[18]

Transformada discreta de Fourier[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Transformada Discreta de Fourier)

Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores  x_k discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{\frac{2\pi i}{n} j k} \quad \quad k = 0,\dots,n-1.

f_j = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-\frac{2 \pi i}{n} j k} \quad \quad j = 0, \dots, n-1

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n2) necessários para o mesmo cálculo.

Algumas transformadas de Fourier [19] [20] [editar | editar código-fonte]

Nesta tabela, \delta(t)\, é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função retangular, sinc(t) é a função sinc = \frac {\sin \pi t} {\pi t} e tri(t) é a função triangular.

Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier
f(t) F(\omega)
\delta(t)\,\! 1\,\!
\delta(t-a)\,\! e^{-ia\omega}\,\!
u(t)\,\! \pi\delta(\omega)+\frac {1}{i\omega}\,\!
1\,\! 2\pi\delta(\omega)\,\!
\operatorname{sgn}(t)\,\! \frac {2}{i\omega}\,\!
e^{i\omega_0t}\,\! 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\,\!
\cos \omega_0t\,\! \pi(\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0))\,\!
\sin \omega_0t\,\! \frac {\pi}{i}(\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0))\,\!
\operatorname{rect} \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{sinc} \left( a \frac{\omega}{2 \pi} \right) \;=\; \frac{2}{\omega} \operatorname{sin} \left( \frac{\omega}{a} \right) \,\!
\cos(\omega_0t)u(t)\,\! \frac {\pi}{2} (\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {i\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!
\sin(\omega_0t)u(t)\,\! \frac {\pi}{2i} (\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {\omega ^2}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!
\operatorname{rect}(t/a)\cos(\omega_0t)\,\! a \left ( \operatorname{sinc}\frac {(\omega-\omega_0)a}{2\pi} + \operatorname{sinc}\frac {(\omega+\omega_0)a}{2\pi} \right )\,\!
\operatorname{sinc} \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!
\operatorname{sinc}^2 \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!
e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {1}{a+i\omega}\,\!
t^n\,\! 2 \pi i^n \delta^n(\omega)\,\!
t^{n-1}e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {(n-1)!}{(a+i\omega)^n}\,\!
e^{-a|t|}, \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {2a}{a^2 + \omega^2}\,\!
e^{-\pi t^2}\,\! e^{-\frac{\omega^2}{4\pi}}\,\!
\frac {1}{\sqrt{|t|}}\,\! \sqrt{\frac {2\pi}{|\omega|}}\,\!
\frac {1}{t^2+a^2}\,\! \frac {\pi}{a}e^{-a|\omega|}\,\!
\operatorname{tri}(t)\,\! \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2 \pi} \right) \,\!

Simetria e paridade[editar | editar código-fonte]

O par de funções f(x) e F(ω) exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se f(x) for uma função par, F(ω) também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se f(x) for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [0, ∞] em lugar de [-∞, ∞], dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.

Tabela 2 - Simetria dos pares de transformadas de Fourier[21]
f(x) F(\omega)
Par Par
Ímpar Ímpar
Real e par Real e par
Real e ímpar Imaginária e ímpar
Imaginária e par Imaginária e par
Complexa e par Complexa e par
Complexa e ímpar Complexa e ímpar
Real e assimétrica Hermitiana[nota 1]
Imaginária e assimétrica Anti-hermitiana[nota 2]
Hermitiana[nota 1] Real
Anti-hermitiana[nota 2] Imaginária

Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f(x), denotado por f*(x), que só tem significado quando x é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f(x) por F(ω), a transformada de f*(x) será denotada por F*(-ω), ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω do conjugado de F(ω). Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.

Tabela 3 - Relação dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[22]
f(x) F^*(-\omega)
Real F(\omega)
Imaginária -F(\omega)
Par F*(\omega)
Ímpar -F*(\omega)

A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.

Tabela 4 - Propriedades dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[23]
f(x) F(\omega)
f(x) F(\omega)
f*(x) F*(-\omega)
f*(-x) F*(\omega)
f(-x) F(-\omega)
\mathcal{R} [f(x)] \frac{F(\omega) \;+\; F*(-\omega)}{2}
\mathcal{I} [f(x)] \frac{F(\omega) \;-\; F*(-\omega)}{2}
f(x) \;+\; f*(-x) 2 \cdot \Re [F(\omega)]
f(x) \;-\; f*(-x) 2 \cdot \Im [F(\omega)]
onde:
  •  \Im [g(x)] \; é a parte imaginária de g(x)
  •  \Re [g(x)] \;  é a parte real de g(x)

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b Ou seja, complexa com a parte real par e a parte imaginária ímpar.
  2. a b Ou seja, complexa com a parte real ímpar e a parte imaginária par.


Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Aspects de l’œuvre de Fourier émission Continent Sciences sur France Culture, 7 février 2011
  2. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
  3. BRACEWELL, R. - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Ed., New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 2, pp. 5 e 6, ISBN 978-0-1381-4757-0
  4. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 110
  5. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 108
  6. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 111
  7. a b BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 135
  8. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 113
  9. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 124
  10. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 163
  11. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 115
  12. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 122
  13. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 119
  14. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 152 a 158
  15. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 160
  16. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 167
  17. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 174 a 176
  18. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 177 a 178
  19. University of Alabama in Huntsville - Table of Fourier Transform Pairs, disponível em http://www.ece.uah.edu/courses/ee426/fourier.pdf, acessado em 21/09/2012
  20. M. Spiegel - Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, São Paulo, McGraw Hill do Brasil, 1973, pp. 174 a 178
  21. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 13
  22. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 14
  23. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 16