Transformada de Fourier

A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A Transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da Transformada Z.

Aplicações

As transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em física, física e química quântica, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, processamento de imagem, teoria das probabilidades, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sísmica, óptica, geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.

• As transformadas são operadores lineares e, com a devida normalização, são também unários (uma propriedade conhecida como o teorema de Parseval ou, mais geralmente, como o teorema de Plancherel, e mais geral ainda, a dualidade de Pontryagin).

• As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.

• As funções de base senoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Por exemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo o comportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)

• Através do teorema da convolução, as transformadas tornam a complicada operação de convolução em multiplicações simples, o que as torna num método eficiente de calcular operações baseadas em convolução, como a multiplicação polinomial, a multiplicação de números grandes e o cálculo da função densidade de probabilidades de uma soma de variáveis aleatórias.

• A versão discreta da transformada de Fourier pode ser calculada rapidamente por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

• Conclui-se que a Transformada integral de Fourier, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência espacial.
• Podemos utilizar o método das transformadas para buscar Soluções de equações diferenciais.

Transformada contínua de Fourier

Geralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com freqüência angular ω,medida em rd/s, e amplitude complexa F(ω):

$\mathcal{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\omega)) = \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

Na área de processamento de sinais, utiliza-se a definição em termos de frequências ordinárias, medidas em hertz:

$\mathcal{F}_0(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi ift}\,dt$

$f(t) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}_0(f) e^{2\pi ift}\,df.$

A relação entre as duas definições é dada por:

$\mathcal{F}_0(f) = \mathcal{F}(2\pi f)$

Existe também uma definição simétrica, como F₀, e que usa a frequência angular, como F, que denotaremos F₁

$\mathcal{F}_1(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

$f(t) = \mathcal{F}_1^{-1}(\mathcal{F}_1(\omega)) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

Transformada discreta de Fourier

(ver artigo principal Transformada Discreta de Fourier)

Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores $x_k$ discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

$x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{\frac{2\pi i}{n} j k} \quad \quad k = 0,\dots,n-1$.

$f_j = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-\frac{2 \pi i}{n} j k} \quad \quad j = 0, \dots, n-1$

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n²) necessários para o mesmo cálculo.

Algumas transformadas de Fourier

Nesta tabela, $\delta(t)\,$ é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função retangular, sinc(t) é a função sinc = $\frac {\sin \pi t} {\pi t}$ e tri(t) é a função triangular.

Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier
$f(t)$	$F(\omega)$
$\delta(t)\,\!$	$1\,\!$
$\delta(t-a)\,\!$	$e^{-ia\omega}\,\!$
$u(t)\,\!$	$\pi\delta(\omega)+\frac {1}{i\omega}\,\!$
$1\,\!$	$2\pi\delta(\omega)\,\!$
$\operatorname{sgn}(t)\,\!$	$\frac {2}{i\omega}\,\!$
$e^{i\omega_0t}\,\!$	$2\pi\delta(\omega-\omega_0)\,\!$
$\cos \omega_0t\,\!$	$\pi(\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0))\,\!$
$\sin \omega_0t\,\!$	$\frac {\pi}{i}(\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0))\,\!$
$\operatorname{rect} \left( \frac{t}{a} \right)\,\!$	$|a| \cdot \operatorname{sinc} \left( a \frac{\omega}{2 \pi} \right) \;=\; \frac{2}{\omega} \operatorname{sin} \left( \frac{\omega}{a} \right) \,\!$
$\cos(\omega_0t)u(t)\,\!$	$\frac {\pi}{2} (\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {i\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!$
$\sin(\omega_0t)u(t)\,\!$	$\frac {\pi}{2i} (\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {\omega ^2}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!$
$\operatorname{rect}(t/a)\cos(\omega_0t)\,\!$	$a \left ( \operatorname{sinc}\frac {(\omega-\omega_0)a}{2\pi} + \operatorname{sinc}\frac {(\omega+\omega_0)a}{2\pi} \right )\,\!$
$\operatorname{sinc} \left( \frac{t}{a} \right)\,\!$	$|a| \cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!$
$\operatorname{sinc}^2 \left( \frac{t}{a} \right)\,\!$	$|a| \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!$
$e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {1}{a+i\omega}\,\!$
$t^n\,\!$	$2 \pi i^n \delta^n(\omega)\,\!$
$t^{n-1}e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {(n-1)!}{(a+i\omega)^n}\,\!$
$e^{-a|t|}, \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {2a}{a^2 + \omega^2}\,\!$
$e^{-\pi t^2}\,\!$	$e^{-\frac{\omega^2}{4\pi}}\,\!$
$\frac {1}{\sqrt{|t|}}\,\!$	$\sqrt{\frac {2\pi}{|\omega|}}\,\!$
$\frac {1}{t^2+a^2}\,\!$	$\frac {\pi}{a}e^{-a|\omega|}\,\!$
$\operatorname{tri}(t)\,\!$	$\operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2 \pi} \right) \,\!$

Simetria e paridade

O par de funções f(x) e F(ω) exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se f(x) for uma função par, F(ω) também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se f(x) for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [0, ∞] em lugar de [-∞, ∞], dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.

Tabela 2 - Simetria dos pares de transformadas de Fourier

$f(x)$	$F(\omega)$
Par	Par
Ímpar	Ímpar
Real e par	Real e par
Real e ímpar	Imaginária e ímpar
Imaginária e par	Imaginária e par
Complexa e par	Complexa e par
Complexa e ímpar	Complexa e ímpar
Real e assimétrica	Hermitiana
Imaginária e assimétrica	Anti-hermitiana
Hermitiana	Real
Anti-hermitiana	Imaginária

Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f(x), denotado por f*(x), que só tem significado quando x é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f(x) por F(ω), a transformada de f*(x) será denotada por F*(-ω), ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω do conjugado de F(ω). Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.

Tabela 3 - Relação dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier

$f(x)$	$F^*(-\omega)$
Real	$F(\omega)$
Imaginária	$-F(\omega)$
Par	$F*(\omega)$
Ímpar	$-F*(\omega)$

A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.

Tabela 4 - Propriedades dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier

$f(x)$	$F(\omega)$
$f(x)$	$F(\omega)$
$f*(x)$	$F*(-\omega)$
$f*(-x)$	$F*(\omega)$
$f(-x)$	$F(-\omega)$
$\mathcal{R} [f(x)]$	$\frac{F(\omega) \;+\; F*(-\omega)}{2}$
$\mathcal{I} [f(x)]$	$\frac{F(\omega) \;-\; F*(-\omega)}{2}$
$f(x) \;+\; f*(-x)$	$2 \cdot \Re [F(\omega)]$
$f(x) \;-\; f*(-x)$	$2 \cdot \Im [F(\omega)]$
onde: $\Im [g(x)] \;$ é a parte real de g(x) $\Re [g(x)] \;$ é a parte imaginária de g(x)

Ver também

• Transformada de Laplace
• Série de Fourier
• Análise harmónica
• Transformada discreta de cosseno
• Transformada de Hartley
• Transformada de Hilbert

Ligações externas

• Всё о Mathcad Predefinição:Ref-ru
• Determinação online da transformada ou da inversa da transformada, wims.unice.fr
• Biblioteca em Java