Transformada de Hankel

A transformada de Hankel pode ser usada na solução da equação de Laplace.

Em matemática, a transformada de Hankel é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier multidimensional, proposta pelo matemático alemão Hermann Hankel (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). Encontra aplicação na análise de problemas em que se verifica simetria em duas ou mais dimensões, permitindo a substituição de coordenadas cartesianas pelo raio polar; por exemplo, em duas dimensões, faz-se

$r\;=\;{\sqrt {x^{2}\;+\;y^{2}}}$

e escreve-se f(r) em lugar de f(x,y), diminuindo-se a complexidade do problema. Um bom exemplo é a equação de Laplace, geralmente uma equação diferencial parcial em x e y, e que se torna uma equação diferencial ordinária em r quando expressa em coordenadas cilíndricas (ver exemplos).

Essa transformada é também conhecida como Transformada de Bessel, uma vez que o núcleo da transformação consiste em uma função de Bessel de primeira espécie.

A Transformada de Hankel relaciona-se de forma interessante com a Transformada de Fourier e a Transformada de Abel por meio do Teorema da projeção de fatia. As transformadas de transformada de Radon e de Tchebychev também podem ser relacionadas à transformada de Hankel (ver detalhes abaixo).

Definição

O núcleo da transformada de Hankel é uma função de Bessel do primeiro tipo.

A transformada de Hankel de ordem ν de uma função f(t) é dada por:

$K_{\nu }(u)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(1a)$

onde J_ν é a função de Bessel de primeira espécie de ordem ν, com ν ≥ −1/2. A transformada inversa de Hankel é dada por:

$f(t)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }^{-1}\{K_{\nu }(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(u)\cdot u\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;du\;\;\;\;\;(1b)$

Verifica-se, assim, que a transformada é a sua própria inversa, o que se chama, em matemática, uma involução.

Em espaços multidimensionais, sob condições de simetria, a transformada de Hankel de dimensão n é dada por:

$K_{\nu }(u)\;=\;{\frac {2\pi }{u^{\nu }}}\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{\frac {n}{2}}\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(2a)$

com

$\nu \;=\;{\frac {n}{2}}\;-\;1\;\;\;e\;\;\;n=1,2,3...\;\;\;\;\;(2b)$

Em duas dimensões (n = 2), obtém-se a transformada de Hankel tradicional. Em uma dimensão (n = 1), obtém-se a Transformada de Fourier, após aplicarem-se as identidades

$J_{\frac {1}{2}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\sin(x)\;\;\;e\;\;\;J_{-{\frac {1}{2}}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\cos(x)\;\;\;\;\;(2c)$

Definições alternativas

Definições ligeiramente diferentes podem ser encontradas na literatura especializada. Por exemplo, Howell (2000) e Piessens (2000) adotam as formas seguintes para a transformada e sua inversa:

$K_{\nu }(u)\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t\cdot J_{\nu }(ut)\;dt\;\;\;\;\;(1c)$

$f(t)\;=\;\int _{0}^{\infty }K_{\nu }(u)\cdot u\cdot J_{\nu }(ut)\;du\;\;\;\;\;(1d)$

Bracewell (2000) e Deans (2000) adotam a convenção preferida neste verbete.

Condições de existência

São condições suficientes (embora não necessárias) para a existência da integral (1a):

• que, para valores crescentes de t, f(t) decresça conforme $t^{-k}$, com $k>{\frac {3}{2}}$
• que f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞] e
• que $f(t)={\frac {f(t+)\;+\;f(t-)}{2}}$ para todo t.

Propriedades

Derivada

${\mathcal {K}}_{\nu }\{f'(t)\}\;=\;u\left[{\frac {\nu \;+\;1}{2\nu }}K_{\nu -1}(u)\;+\;{\frac {\nu \;-\;1}{2\nu }}K_{\nu +1}(u)\right]\;\;\;\;\;(3a)$

Dilatação do eixo

${\mathcal {K}}_{\nu }\{f(at)\}\;=\;{\frac {1}{a^{2}}}K_{\nu }\left({\frac {u}{a}}\right)\;\;\;\;\;(3b)$

Divisão por t

${\mathcal {K}}_{\nu }\left\{{\frac {1}{t}}\cdot f(at)\right\}\;=\;{\frac {u}{2\nu }}\left[K_{\nu -1}(u)\;+\;K_{\nu +1}(u){\frac {}{}}\right]\;\;\;\;\;(3c)$

Multiplicação por u

${\mathcal {K}}_{\nu }\left\{{\frac {1}{t^{1+\nu }}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left[t^{1+\nu }\cdot f(t){\frac {}{}}\right]\right\}\;=\;uK_{\nu +1}(u)\;\;\;\;\;(3d)$

${\mathcal {K}}_{\nu }\left\{{\frac {1}{t^{1-\nu }}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left[t^{1-\nu }\cdot f(t){\frac {}{}}\right]\right\}\;=\;-uK_{\nu -1}(u)\;\;\;\;\;(3e)$

Operador diferencial de Bessel

Se $\lim _{r\to \infty }f(r)\;=\;0$, então

${\mathcal {K}}_{\nu }\{\Delta _{\nu }\cdot f(r)\}\;=\;-u^{2}K_{\nu }(u)\;\;\;\;\;(3f)$

onde Δ_ν é o operador diferencial de Bessel:

$\Delta _{\nu }\;=\;\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\;+\;{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\;-\;\left({\frac {\nu }{r}}\right)^{2}\right]\;=\;\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}r{\frac {d}{dr}}\;-\;\left({\frac {\nu }{r}}\right)^{2}\right]$

Teorema de Parseval

O teorema de Parseval tem uma fora ligeiramente alterada com relação a outras transformadas conhecidas, devido à geometria radial.

$\int _{0}^{\infty }t\cdot f(t)\cdot g(t)\;dt\;=\;\int _{0}^{\infty }u\cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{g(t)\}\;du\;\;\;\;\;(3g)$

Também é relevante a propriedade

$\int _{0}^{\infty }t\cdot f(t)\cdot g^{*}(t)\;dt\;=\;\int _{0}^{\infty }u\cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\cdot \left[{\mathcal {K}}_{\nu }\{g(t)\}\right]^{*}\;du\;\;\;\;\;(3h)$

onde o símbolo * indica o conjugado complexo.

Convolução

${\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\;*\;g(t)\}\;=\;2\pi \cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{g(t)\}\;\;\;\;\;(3i)$

${\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\cdot g(t)\}\;=\;{\frac {1}{2\pi }}\cdot {\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\;*\;{\mathcal {K}}_{\nu }\{g(t)\}\;\;\;\;\;(3j)$

Momentos

$K_{0}(0)\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }t\cdot f(t)\;dt\qquad (3k)$

$\left.{\frac {d}{du}}K_{0}(u)\right|_{u=0}\;=\;-4\pi ^{3}\int _{0}^{\infty }t^{3}\cdot f(t)\;dt\qquad (3l)$

$f(0)\cdot K_{0}(0)\;=\;4\pi ^{2}\left[\int _{0}^{\infty }t\cdot f(t)\;dt\right]\cdot \left[\int _{0}^{\infty }u\cdot F(u)\;du\right]\qquad (3m)$

Relação com outras transformadas

A transformada de Hankel se relaciona com a transformada de Radon bidimensional ${\mathcal {R}}$ por meio da seguinte expressão, em forma de operadores:

${\mathcal {K}}_{\nu }\;=\;\left({\frac {1}{(-i)^{\nu }\cdot e^{i\nu \theta }}}\right)\;{\mathcal {F}}\;{\mathcal {R}}\;\;\;\;\;(3n)$

Uma expressão similar vale para a transformada de Tchebychev ${\mathcal {T}}$

${\mathcal {K}}_{\nu }\;=\;(i)^{\nu }\;{\mathcal {F}}\;{\mathcal {T}}\;\;\;\;\;(3o)$

A transformada de Hankel de ordem 0 relaciona-se com as transformadas de Fourier e de Abel conforme a expressão conhecida como ciclo (ou anel) de transformadas de Abel-Fourier-Hankel:

${\mathcal {K}}_{0}{\mathcal {F}}{\mathcal {A}}\;=\;{\mathcal {I}}\qquad (3p)$

onde o operador ${\mathcal {A}}$ denota a transformada de Abel e ${\mathcal {I}}$, a transformada identidade. Cumpre lembrar que a função bidimensional f(x,y), implícita na fórmula, precisa ser circularmente simétrica para que a transformação de Abel possa ser aplicada.

Outras transformações relacionadas

Transformada Finita de Hankel

A Transformada Finita de Hankel é definida como:

${\mathcal {K}}_{\nu }^{F}\{f(t)\}\;=\;K_{\nu }^{F}(\alpha )\;=\;\int _{0}^{1}f(t)\cdot t\cdot J_{\nu }(\alpha t)\;dt\;\;\;\;\;\;(4a)$

onde α é um zero positivo da função J_ν(x). Se, por outro lado, α for um zero positivo da função g(x) = hJ_ν(x) + xJ'_ν(x), onde h é uma constante qualquer não-negativa, a equação (4a) define a chamada Transformada Finita de Hankel Modificada, K_ν^M.

Uma notação usual para o n-ésimo zero da função J_ν(x) é j_ν,n; uma notação usual para o n-ésimo zero da função hJ_ν(x) + xJ'_ν(x) é β_ν,n,h (ou mesmo apenas β_ν,n). Para h=0, α passa a ser um zero positivo da função J'_ν(x), usualmente denotado por j'_ν,n.

As transformações inversas são obtidas através das fórmulas

$f(t)\;=\;2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {K_{\nu }^{F}(\alpha )\cdot J_{\nu }(\alpha t)}{J_{\nu +1}^{2}(\alpha )}}\;=\;2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {K_{\nu }^{F}(j_{\nu ,n})\cdot J_{\nu }(j_{\nu ,n}\cdot t)}{J_{\nu +1}^{2}(j_{\nu ,n})}}\;\;\;\;\;(4b)$

e

$f(t)\;=\;2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {K_{\nu }^{M}(\alpha )\cdot \alpha ^{2}\cdot J_{\nu }(\alpha t)}{(h^{2}\;+\;\alpha ^{2}\;-\;\nu ^{2})\cdot J_{\nu }^{2}(\alpha )}}\;=\;2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {K_{\nu }^{M}(\beta _{\nu ,n,h})\cdot \beta _{\nu ,n,h}^{2}\cdot J_{\nu }(\beta _{\nu ,n,h}\cdot t)}{(h^{2}\;+\;\alpha ^{2}\;-\;\nu ^{2})\cdot J_{\nu }^{2}(\beta _{\nu ,n,h})}}\;\;\;\;\;(4c)$

A propriedade importante dessas transformadas é a seguinte:

${\mathcal {K}}_{\nu }^{F}\{\Delta _{\nu }\cdot f(r)\}\;=\;-\alpha ^{2}K_{\nu }^{F}(\alpha )\;-\;\alpha \cdot f(1)\cdot J_{\nu }'(\alpha )\;+\;f'(1)\cdot J_{\nu }(\alpha )\;\;\;\;\;(4d)$

${\mathcal {K}}_{\nu }^{M}\{\Delta _{\nu }\cdot f(r)\}\;=\;-\alpha ^{2}K_{\nu }^{M}(\alpha )\;+\;h\cdot f(1)\cdot J_{\nu }(\alpha )\;+\;f'(1)\cdot J_{\nu }(\alpha )\;\;\;\;\;(4e)$

onde Δ_ν é o operador diferencial de Bessel.

Transformada de Weber

Se em lugar do núcleo J_ν(ut) for usada a função

$w_{\nu }(u,t)\;=\;J_{\nu }(ut)\cdot Y_{\nu }(u)\;-\;J_{\nu }(u)\cdot Y_{\nu }(ut)\;\;\;\;\;(4f)$

onde Y_ν é a função de Bessel de segunda espécie de ordem ν, a equação

$W_{\nu }(u)\;=\;{\mathcal {W}}_{\nu }\{f(t)\}\;=\;\int _{1}^{\infty }f(t)\cdot t\cdot w_{\nu }(ut)\;dt\;\;\;\;\;(4g)$

define a Transformada de Weber de ordem ν de f(t). A transformação inversa é dada por

$f(t)\;=\;{\mathcal {W}}_{\nu }^{-1}\{W_{\nu }(u)\}\;=\;\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{\nu }(u)\cdot u\cdot w_{\nu }(ut)}{J_{\nu }^{2}(u)\;+\;Y_{\nu }^{2}(u)}}\;du\;\;\;\;\;(4h)$

A propriedade notável dessa transformada é a seguinte: se

$f(t)\;=\;g''(t)\;+\;{\frac {1}{t}}\;g'(t)\;-\;\left({\frac {\nu }{t}}\right)^{2}g(t)$

então

${\mathcal {W}}_{\nu }\{f(t)\}\;=\;-u^{2}\cdot {\mathcal {W}}_{\nu }\{g(t)\}\;-\;{\frac {2}{\pi }}\;g(1)\;\;\;\;\;(4i)$

Transformada multidimensional de Hankel

Uma fórmula geral para a transformada de Hankel em n dimensões, válida para situações onde exista a devida simetria, é a seguinte:

${\mathcal {K}}^{n}\{f(t)\}\;=\;{\frac {2\pi }{u^{{\frac {n}{2}}-1}}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot J_{{\frac {n}{2}}-1}(2\pi ut)\cdot t^{\frac {n}{2}}\;dt\;\;\;\;\;(4j)$

Essa fórmula pode ser usada para calcular a transformada de Hankel para n = 3. Com n = 2, a fórmula fornece a definição conhecida de ${\mathcal {K}}_{0}$. Com n = 1, obtém-se, após as devidas simplificações, a transformada de Fourier unidimensional.

Tabela de Transformadas de Hankel

Na maioria das vezes, devido ao fato de as funções de Bessel não serem expressas em forma fechada, a avaliação da Transformada de Hankel deve ser feita por métodos numéricos. Em alguns casos, entretanto, ela pode ser escrita como uma fórmula relativamente simples. As tabelas abaixo trazem alguns exemplos.

Tabela 1 - Transformadas de Hankel de ordem 0 de algumas funções f(t)

$f(t)$	$K_{0}(u)$
${\frac {1}{t}}$	${\frac {1}{u}}$
$t^{-2a}$	${\frac {\pi }{(\pi u)^{2-2a}}}\cdot {\frac {\Gamma (1\;-\;a)}{\Gamma (a)}}$
${\mbox{u}}(b\;-\;t)$	${\frac {b}{u}}\cdot J_{1}(2\pi bu)$
$e^{-bt}$	$2\pi b\cdot (4\pi ^{2}u^{2}\;+\;b^{2})^{-{\frac {3}{2}}}$
${\frac {e^{-bt}}{t}}$	${\frac {2\pi }{\sqrt {4\pi ^{2}u^{2}\;+\;b^{2}}}}$
${\frac {1\;-e^{-bt}}{t^{2}}}$	$2\pi \cdot \ln \left({\frac {a}{2\pi u}}\;+\;{\sqrt {\left[{\frac {a}{2\pi u}}\right]^{2}\;+\;1}}\right)$
${\frac {\sin(t)}{t}}$	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{\sqrt {1\;-\;4\pi ^{2}u^{2}}}}&:&u\;<\;{\frac {1}{2\pi }}\\\\0&:&u\;\geq \;{\frac {1}{2\pi }}\end{matrix}}\right.$
${\frac {\sin(t)}{t^{2}}}$	$\left\{{\begin{matrix}\pi ^{2}&:&u\;\leq \;{\frac {1}{2\pi }}\\\\2\pi \;\arcsin \left({\frac {1}{2\pi u}}\right)&:&u\;>\;{\frac {1}{2\pi }}\end{matrix}}\right.$
${\frac {\sin(ct)}{t^{2}\;+\;b^{2}}}$	$\pi ^{2}e^{-bc}\cdot I_{0}(2\pi bu)\qquad 0\;<\;u\;<\;{\frac {c}{2\pi }}$
${\frac {\cos(ct)}{t^{2}\;+\;b^{2}}}$	$2\pi \cdot \cosh(bc)\cdot X_{0}(2\pi bu)\qquad 0\;<\;u\;<\;{\frac {c}{2\pi }}$
${\frac {1}{t^{2}\;+\;b^{2}}}$	$2\pi \cdot Y_{0}(2\pi bu)$
$e^{-b^{2}t^{2}}$	${\frac {\pi }{b^{2}}}\cdot e^{-{\frac {\pi ^{2}u^{2}}{b^{2}}}}$
${\frac {1}{t(t\;+\;b)}}$	$\pi ^{2}\cdot \left({\frac {}{}}{\mbox{H}}_{0}(2\pi bu)\;-\;Y_{0}(2\pi bu)\right)$
${\frac {1}{t^{2}\;+\;b^{2}}}$	$2\pi \cdot K_{0}(2\pi bu)$
${\frac {1}{t(t^{2}\;+\;b^{2})}}$	${\frac {\pi ^{2}}{b}}\cdot \left[{\frac {}{}}I_{0}(2\pi bu)\;-\;{\mbox{L}}_{0}(2\pi bu)\right]$
${\frac {1}{\sqrt {t^{2}\;+\;b^{2}}}}$	${\frac {e^{-2\pi bu}}{u}}$
$rect\left({\frac {t}{2b}}\right)$	${\frac {b}{u}}\cdot J_{1}(2\pi bu)$
$\delta (t\;-\;b)$	$2\pi b\cdot J_{0}(2\pi bu)$
onde: ${\mbox{u}}(x)\,$ é a função degrau unitário $\delta (x)\,$ é a função impulso unitário $rect(x)\,$ é a função retangular $\Gamma (x)\,$ é a função gama $I_{0}(x)\,$ é a função de Bessel modificada do primeiro tipo de ordem 0 $X_{0}(x)\,$ é a função de Bessel modificada do segundo tipo de ordem 0 ${\mbox{H}}_{0}(x)\,$ é a função de Struve de ordem 0 ${\mbox{L}}_{0}(x)\,$ é a função de Struve modificada de ordem 0 $a,b,c\in {\mathcal {R}}\;|\;{\frac {1}{4}}\;<\;a\;<\;1$

Tabela 2 - Transformadas de Hankel de ordem ν de algumas funções f(t)

$f(t)$	$K_{\nu }(u)$
${\frac {1}{t}}$	${\frac {1}{u}}$
$t^{-a}$	${\frac {\pi }{(\pi u)^{2-a}}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {2\;+\;\nu \;-\;a}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu \;+\;a}{2}}\right)}}$
$t^{\nu }\cdot (b^{2}\;-\;t^{2})^{d}\cdot {\mbox{u}}(b\;-\;t)$	$\pi b^{d+\nu +1}\;(\pi u)^{-(d+1)}\cdot \Gamma (d\;+\;1)\cdot J_{\nu +d+1}(2\pi bu)$
${\frac {\sin(ct)}{t}}$	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{\sqrt {4\pi ^{2}u^{2}\;-\;c^{2}}}}\cdot \sin \left(\nu \cdot \arcsin \left({\frac {c}{2\pi u}}\right)\right)&:&u\;>\;{\frac {c}{2\pi }}\\\\{\frac {2\pi }{\sqrt {c^{2}\;-\;4\pi ^{2}u^{2}}}}\cdot \left[{\frac {2\pi u}{c\;+\;{\sqrt {c^{2}\;-\;4\pi ^{2}u^{2}}}}}\right]^{\nu }\cdot \cos \left({\frac {\nu \pi }{2}}\right)&:&u\;<\;{\frac {c}{2\pi }}\end{matrix}}\right.$
${\frac {\sin(ct)}{t^{2}}}$	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{\nu }}\cdot \sin \left(\nu \cdot \arcsin \left({\frac {c}{2\pi u}}\right)\right)&:&u\;>\;{\frac {c}{2\pi }}\\\\{\frac {2\pi }{\nu }}\cdot \left[{\frac {2\pi u}{c\;+\;{\sqrt {c^{2}\;-\;4\pi ^{2}u^{2}}}}}\right]^{\nu }\cdot \sin \left({\frac {\nu \pi }{2}}\right)&:&u\;\leq \;{\frac {c}{2\pi }}\end{matrix}}\right.$
${\frac {e^{-bt}}{t}}$	${\frac {2\pi }{\sqrt {u^{2}\;+\;4\pi ^{2}a^{2}}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {4\pi ^{2}u^{2}\;+\;b^{2}}}\;-\;b}{2\pi u}}\right]^{\nu }$
${\frac {e^{-bt}}{t^{2}}}$	${\frac {2\pi }{\nu }}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {4\pi ^{2}u^{2}\;+\;b^{2}}}\;-\;b}{2\pi u}}\right]^{\nu }$
onde: ${\mbox{u}}(x)\,$ é a função degrau unitário $\Gamma (x)\,$ é a função gama $a,b,c,d\in {\mathcal {R}}\;|\;{\frac {1}{2}}\;<\;a\;<\;\nu +2,\;d\;>-1$

Exemplos de aplicação

Solução de equação diferencial parcial de Laplace

Disco carregado localizado num plano perpendicular ao eixo Z e com centro na origem.

A transformada de Hankel pode auxiliar na solução da equação de Laplace

$\nabla ^{2}\;V\;=\;0\qquad (5a)$

Suponhamos que as condições de contorno sejam

$V(r,\theta ,0)\;=\;V_{0}\qquad |\;0\;\leq \;r\;\leq \;1\qquad \land \qquad {\frac {\partial }{\partial z}}V(r,\theta ,0)\;=\;0\qquad |\;r\;>1\qquad \qquad (5b)$

onde, devido à simetria, foram escolhidas coordenadas cilíndricas para a formulação. As equações (5a) e (5b) descrevem, por exemplo, o potencial elétrico V em um ponto qualquer (r,θ,z) do espaço tridimensional, causado por um disco eletrificado de raio unitário localizado no plano perpendicuar ao eixo Z e com centro na origem. O potencial do disco é igual a V₀.

Para simplificar, novamente devido à simetria do problema, a coordenada polar θ pode ser omitida. A partir da equação do Laplaciano em coordenadas cilíndricas, (5a) se torna então

$\nabla ^{2}\;V(r,z)\;=\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}V(r,z)\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,z)\;+\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}V(r,z)\;=\;0\qquad (5c)$

Aplicando a transformada de Hankel de ordem 0 a (5c), com relação à variável r, obtém-se

$-u^{2}K_{0}(u,z)\;+\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}K_{0}(u,z)\;=\;0\qquad (5d)$

onde K₀(u,z) é a transformada de Hankel de ordem 0 de V(r,z). A solução óbvia de (5d) é

$K_{0}(u,z)\;=\;\phi _{1}(u)\cdot e^{-uz}\;+\;\phi _{2}(u)\cdot e^{uz}\qquad (5e)$

A "condição de contorno" implícita

$\lim _{z\to \infty }V(r,z)\;=\;0$

implica φ₂ idênticamente nula. Assim, ao aplicar-se a transformada inversa a (5e), obtém-se

$V(r,z)\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }u\cdot \phi _{1}(u)\cdot e^{-uz}\cdot J_{0}(ur)\;du\qquad (5f)$

Aplicando (5f) às condições (5b), teremos

$V(r,0)\;=\;V_{0}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }u\cdot \phi _{1}(u)\cdot J_{0}(ur)\;du\qquad |\;0\;\leq \;r\;\leq \;1\qquad (5g)$

${\frac {\partial }{\partial z}}V(r,0)\;=\;0\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }-u^{2}\cdot \phi _{1}(u)\cdot J_{0}(ur)\;du\qquad |\;r\;>1\qquad (5h)$

As expressões (5g) e (5h) formam um sistema de equações integrais de Fredholm do primeiro tipo. É conhecida a solução para o caso geral

$\left.{\begin{matrix}x^{\beta }\;=\;\int _{0}^{\infty }t^{2\alpha }f(t)\cdot J_{\nu }(xt)\;dt&|\;0\;\leq \;x\;\leq \;1\\\\0\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot J_{\nu }(xt)\;dt&|\;x\;>\;1\\\\-1\;<\;\alpha \;<\;0&\end{matrix}}\right\}\implies f(x)\;=\;{\frac {2^{-\alpha }x^{1-\alpha }}{\Gamma (\alpha \;+\;1)}}\int _{0}^{1}s^{-(\nu +\alpha )}\cdot J_{\nu +\alpha }(xs)\cdot \left[{\frac {d}{ds}}\int _{0}^{s}t^{\beta +\nu +1}\cdot (s^{2}\;-\;t^{2})^{\alpha }\;dt\right]ds$

que coincide com (5g) e (5h) se fizermos $\phi _{1}(u)\;=\;{\frac {V_{0}}{2\pi }}\;u^{-2}\cdot f(u),\;\beta \;=\;0,\;\alpha \;=\;-{\frac {1}{2}},\;\nu \;=\;0$. Assim,

$f(x)\;=\;{\frac {2^{\frac {1}{2}}x^{\frac {3}{2}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{1}s^{\frac {1}{2}}\cdot J_{-{\frac {1}{2}}}(xs)\cdot \left[{\frac {d}{ds}}\int _{0}^{s}t\cdot (s^{2}\;-\;t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\;dt\right]ds\;=\;{\frac {2^{\frac {1}{2}}x^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\int _{0}^{1}s^{\frac {1}{2}}\cdot J_{-{\frac {1}{2}}}(xs)\cdot {\frac {d}{ds}}\left[\left.(s^{2}\;-\;t^{2})^{\frac {1}{2}}\right|_{0}^{s}\;\right]ds$

$f(x)\;=\;{\sqrt {\frac {2x^{3}}{\pi }}}\int _{0}^{1}s^{\frac {1}{2}}\cdot J_{-{\frac {1}{2}}}(xs)\cdot {\frac {d}{ds}}\left[-s\right]ds\;=\;-{\sqrt {\frac {2x^{3}}{\pi }}}\int _{0}^{1}s^{\frac {1}{2}}\cdot J_{-{\frac {1}{2}}}(xs)\;ds\qquad (5i)$

Mas

$\int _{0}^{1}x^{\nu +1}\cdot J_{\nu }(ax)\;dx\;=\;{\frac {1}{a}}\cdot J_{\nu +1}(a)\qquad |\;\Re \{\nu \}\;>\;-1$

Fazendo ν = -½ na expressão acima e aplicando em (5i), temos

$\phi (u)\;=\;{\frac {V_{0}}{2\pi u^{2}}}{\sqrt {\frac {2u^{3}}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{u}}\cdot J_{\frac {1}{2}}(u)\;=\;{\frac {V_{0}}{\sqrt {2\pi ^{3}u^{3}}}}\cdot J_{\frac {1}{2}}(u)$

Lançando mão da identidade

$J_{\frac {1}{2}}(x)\;=\;{\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cdot \sin(x)$

temos

$\phi (u)\;=\;{\frac {V_{0}}{\pi ^{2}u^{2}}}\cdot \sin(u)$

E a resposta do problema é

$V(r,z)\;=\;{\frac {2V_{0}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }u^{-1}\cdot \sin(u)\cdot e^{-uz}\cdot J_{0}(ur)\;du\qquad (5j)$

A expressão (5j) deve ser integrada numericamente para se obter o valor do potencial para cada ponto do espaço.