Transformada de Hartley

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
A função cas(x) (linha vermelha) é o núcleo da transformada de Hartley. Sua derivada é a função cas'(x) (linha azul, tracejada).

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculonota 1 e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 19421 para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell2 (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 19833 .

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa4 . Entretanto, a transformada óptica de Hartley não parece ser muito empregada ainda[carece de fontes?].

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier5 .

Definição[editar | editar código-fonte]

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:


H(\omega) \;=\; \mathcal{H} \{ f(t) \} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \; \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \mbox{cas} (\omega t) \; dt \;\;\;\;\; (1a)


onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)


 \mbox{cas} (t) \;=\; \cos(t) \;+\; \sin(t) \;=\; \sqrt{2} \cdot \sin \left( t \;+\; \frac{\pi}{4} \right) \;=\; \sqrt{2} \cdot \cos \left( t \;-\; \frac{\pi}{4} \right) \;\;\;\;\; (1b)1 5


é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno1 6 .

Transformada inversa[editar | editar código-fonte]

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):


f \;=\; \{ \mathcal{H} \{ \mathcal{H} f \} \} \;\;\;\;\; (1c)1 nota 2


Convenções[editar | editar código-fonte]

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:

  • Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o {1}/{\sqrt{2 \pi}} da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
  • Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente {1}/{\sqrt{2\pi}} é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção1 2 .
  • Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo[carece de fontes?].

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:


\mathcal{F}(\omega) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \; dt


f(t) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i \omega t} \; d \omega


É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.


Relação com a transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica F(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \}(\omega) na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial e^{-i \omega t} \;=\; \cos(\omega t) \;-\; i \sin(\omega t), onde i é a unidade imaginária.

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:


F(\omega) \;=\; \frac{H(\omega) \;+\; H(-\omega)}{2} \;-\; i \cdot \frac{H(\omega) \;-\; H(-\omega)}{2} \;=\; H_{par}(\omega) \;-\; i \cdot H_{impar}(\omega) \;\;\;\;\; (2a)


Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:


\{ \mathcal{H} f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \} \;-\; \Im \{ \mathcal{F}f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \cdot (1 \;+\; i) \} \;\;\;\;\; (2b)


onde \Re e \Im denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier1 7 .

A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da transformada real de Fourier R(ω) por meio da fórmula abaixo:


\begin{bmatrix} H(\omega) \\ H(-\omega) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 1 && -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_p(\omega) \\ R_i(\omega) \end{bmatrix} \;\;\;\;\; (2c)


onde Rp(ω) e Ri(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω)8 .

Relações similares existem com a transformada real de Mellin M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:


\begin{bmatrix} H(\omega) \\ H(-\omega) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 1 && -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_p(\sigma, \omega) \\ M_i(\sigma, \omega) \end{bmatrix} \;\;\;\;\; (2d)


onde Mp(σ,ω) e Mi(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω)9 .


Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as condições de Dirichlet:

  • f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞]
  • f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo
  • f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞

Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley10 .

Interpretação da transformada de Hartley[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe simetria hermitiana, ou seja F(-ω) = F*(ω), onde F*(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real11 .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).

Teorema da convolução[editar | editar código-fonte]

Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções x(t) e y(t) têm transformadas de Hartley X(\omega) e Y(\omega), respectivamente, então sua convolução z(t) = x * y tem a transformada de Hartley


Z(\omega) \;=\; \{ \mathcal{H} (x \;*\; y) \} \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ \frac{}{} X(\omega) Y_p(\omega) \;+\; X(-\omega) Y_i(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3a)


onde Yp e Yi são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).

A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para


Z(\omega) \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ \frac{}{} X(\omega) Y(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3b)


que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier1 .

Paridade[editar | editar código-fonte]

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar1 .

Espectro de potência e fase[editar | editar código-fonte]

A densidade espectral P e a fase φ da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões


P(\omega) \;=\; |F(\omega)| ^2 \;=\; \left[ \Re \{ F(\omega) \} ^2 \;+\; \Im \{ F(\omega) \} ^2 \right]


\phi(\omega) \;=\; \arctan \left( \frac{\Im \{ F(\omega) \}}{\Re \{ F(\omega) \}} \right)


a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em


P(\omega) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \left( H(\omega) \right) ^2 \;+\; \left( H(-\omega) \right) ^2 \right] \;\;\;\;\; (3c)


\phi(\omega) \;=\; \arctan \left( \frac{H(-\omega) \;-\; H(\omega)}{H(-\omega) \;+\; H(\omega)} \right) \;\;\;\;\; (3d)


Observe-se que P(ω) será sempre uma função par12 nota 3 .

Escalamento e deslocamento do eixo[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então


\mathcal{H} \{ f(ax) \} \;=\; \frac{1}{|a|} H \left( \frac{\omega}{a} \right) \;\;\;\;\; (3e)


e


\mathcal{H} \{ f(x \;+\; b) \} \;=\; H(\omega) \cdot \cos (\omega b) \;+\; H(-\omega) \cdot \sin (\omega b) \;\;\;\;\; (3f)


Em particular, se a = -1, então \mathcal{H} \{ f(-x) \} \;=\; H(-\omega)13 .

Modulação[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω0·x), então


\mathcal{H} \{ f(x) \cdot g(x) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} H(\omega \;+\; \omega_0) \;+\; H(\omega \;-\; \omega_0) \right] \;\;\;\;\; (3g)13


Derivadas[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por


\mathcal{H} \{ f^n(x) \} \;=\; \mbox{cas'} \left( \frac{n \pi}{2} \right) \cdot \omega ^n \cdot H \left( (-1)^n \cdot \omega \right) \;\;\;\;\; (3h)


onde cas' é a função cas complementar (ver abaixo)14 .

Tabela de Transformadas de Hartley[editar | editar código-fonte]

A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver acima), as duas opções foram contempladas.

Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)15
f(t) H(\omega)
1 \delta(\omega)
e^{iat} \delta (\omega \;-\; a)
\delta(t) 1
\delta(t \;-\; a) \cos(a \omega) \;-\; \sin(a \omega)
u(t) \frac{\delta(\omega)}{2} \;+\; \frac{\cos(a \omega) \;-\; \sin(a \omega}{\omega}
u(t \;-\; a) \frac{\delta(\omega)}{2} \;+\; \frac{1}{\omega}
t \cdot u(t)nota 4 -\frac{\delta'(\omega)}{4 \pi} \;-\; \frac{1}{\omega^2}
\sgn (t) \frac{2}{\omega}
\cos (at) \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]
\sin (at) \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;-\; \delta(\omega \;+\; a) \right]
rect(t) sinc(\omega)
tri(t) \frac{1}{2} \; sinc^2 \left( \frac{\omega}{\pi} \right)
e^{-at} \cdot u(t) \frac{a \;+\; \omega}{a^2 \;+\; \omega ^2}
e^{-a^2t^2} \cdot u(t) \frac{\sqrt{\pi}}{a} \cdot e^{-\frac{\omega^2}{2a^2}}
e^{-a|t|} \cdot u(t) \frac{2a}{a^2 \;+\; \omega ^2}
e^{at} \cdot \cos (bt) \frac{(a \;-\; \omega)(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2) \;+\; 2 a \omega (a \;+\; \omega)}{(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2)^2 \;+\; 4 a^2 \omega^2}
e^{at} \cdot \sin (bt) \frac{b(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2 \;+\; 2 a \omega)}{(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2)^2 \;+\; 4 a^2 \omega^2}
rect(t) \cdot \cos (bt) \frac{\sin \left( \frac{\omega - b}{2} \right) }{\omega \;-\; b} \;+\; \frac{\sin \left( \frac{\omega \;+\; b}{2} \right) }{\omega \;+\; b}
\cos (at) \cdot u(t) \frac{2 \pi \omega}{\omega^2 \;-\; a^2} \;+\; \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]
\sin (at) \cdot u(t) -\frac{2 \pi a}{\omega^2 \;-\; a^2} \;+\; \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]
onde:

Função cas[editar | editar código-fonte]

As propriedades da função cas seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da trigonometria.

Adição de ângulos[editar | editar código-fonte]

 \mbox{cas} (a \;+\; b) \;=\; \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) \;+\; \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) \;+\; \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) \;-\; \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \;\;\;\;\; (4a)


ou


 \mbox{cas} (a \;+\; b) \;=\; \cos (a) \mbox{cas} (b) \;+\; \sin (a) \mbox{cas} (-b) \;=\; \cos (b) \mbox{cas} (a) \;+\; \sin (b) \mbox{cas}(-a)  \;\;\;\;\; (4b)


No caso particular:


 \mbox{cas} (2a) \;=\; \mbox{cas}^2(a) \;+\; \mbox{cas}^2(-a) \;\;\;\;\; (4c)


Derivada e anti-derivada[editar | editar código-fonte]

 \mbox{cas}'(a) \;=\; \frac{d}{da} \mbox{cas} (a) \;=\; \cos (a) - \sin (a) \;=\; \mbox{cas}(-a) \;\;\;\;\; (4d)


esta função é conhecida como cas complementar5 .


 \mbox{cas}'(a) \;=\; \sqrt{2} \sin \left( a \;+\; \frac{3 \pi}{4} \right) \;=\; \sqrt{2} \cos \left( a \;+\; \frac{\pi}{4} \right) \;\;\;\;\; (4e)


 \int_0^a \mbox{cas}'(x) \; dx \;=\; -\; \mbox{cas}'(a) \;=\; -\; \mbox{cas}(-a) \;\;\;\;\; (4f)


Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x)[editar | editar código-fonte]

 \cos(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \mbox{cas}(a) \;+\; \mbox{cas}(-a) \right] \;\;\;\;\; (4g)


 \sin(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \mbox{cas}(a) \;-\; \mbox{cas}(-a) \right] \;\;\;\;\; (4h)


Relação com a função exponencial[editar | editar código-fonte]

 \mbox{cas}(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} (1 \;+\; i)e^{-ia} \;+\; (1 \;-\; i)e^{ia} \right] \;\;\;\;\; (4i)


Produtos[editar | editar código-fonte]

 \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) \;=\; \cos( a \;-\; b) \;+\; \sin( a \;+\; b) \;\;\;\;\; (4j)


 \mbox{cas}(a) \;+\; \mbox{cas}(b) \;=\; 2 \; \mbox{cas} \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \cos \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \;\;\;\;\; (4k)


 \mbox{cas}(a) \;-\; \mbox{cas}(b) \;=\; 2 \; \mbox{cas} \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \sin \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \;\;\;\;\; (4l)16

Série de Hartley[editar | editar código-fonte]

A série de Hartley é uma expansão em série infinita de uma função periódica f(t), na forma


 f(t) \;=\; \sum_{k \;=\; -\infty}^{\infty} a_k \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 k \pi t}{\tau} \right) \;\;\;\;\; (5a)


onde τ é o período de f(t) e os coeficientes ak são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a base ortogonal sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.

A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático ε2 na representação da função f(t) por meio da série finita


 \hat f(t) \;=\; \sum_{k \;=\; -K}^{K} a_k \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 k \pi t}{\tau} \right) \quad | \; k \in \mathcal{N}\;\;\;\;\; (5b)


definido por

 \epsilon ^ 2 \{ f(t), \hat f(t) \} \;=\; ( f(t) - \hat f(t) ) ^2 \;\;\;\;\; (5c)

é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de Knota 5 nota 6 . Em outras palavras, os coeficientes ak fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.

Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear ε, definido como

 \epsilon \{ f(t), \hat f(t) \} \;=\; f(t) - \hat f(t) \;\;\;\;\; (5d)

pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente)nota 7 . Essa propriedade decorre da equação de Parseval

 \sum_{k \;=\; 1}^{\infty} a_k ^ 2 \;=\; (f(t)) ^2 \;\;\;\;\; (5e)17


Os coeficientes ak na equação (5a) são dados pela fórmula


 a_k \;=\; \frac{1}{\tau} \int_{\tau} f(t) \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 \pi k t}{\tau} \right) \; d \tau \;\;\;\;\; (5f)18


Outras propriedades da série de Hartley[editar | editar código-fonte]

Reversão no tempo[editar | editar código-fonte]

Se g(t) = f(-t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão b_j \;=\; a_{-j} para qualquer j.

Paridade[editar | editar código-fonte]

Se f(t) for uma função par, então a_j \;=\; a_{-j} para qualquer j. Se f(t) for uma função ímpar, a_j \;=\; - a_{-j} para qualquer jnota 8 . Se f(t) for uma função com anti-simetria de meia-onda, ou seja, f(t) \;=\; - \; f \left( t \;+\; \frac{\tau}{2} \right), então aj = 0 para j par.

Derivada e anti-derivada[editar | editar código-fonte]

Se denotarmos por g(t) a derivada de f(t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão b_j \;=\; - \frac{a_{-j} \cdot j}{\tau} para qualquer j.

Se denotarmos por g(t) a anti-derivada de f(t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão b_j \;=\; \frac{a_{-j} \cdot \tau}{j} para qualquer j19 .


A Transformada Discreta de Hartley[editar | editar código-fonte]

(ver o artigo principal Transformada discreta de Hartley)

A transformada de Hartley é definida em um espaço euclideano contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

a_k \;=\; \frac{1}{n} \; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j) \cdot cas \left( \frac{2 \pi j}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6a)

onde τ é tamanho do período amostrado. A expressão (6a) é muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A sequência original é recuperada pela aplicação da transformada inversa, ou seja, os valores fk de f são obtidos a partir dos coeficientes ak pela fórmula:

f_k \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_k \cdot cas \left( \frac{2 \pi j}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6b)

Perceba-se que a simetria entre a transformada e a inversa é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por 1/\sqrt{n} e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell(2000).

Como a DHT recebe como entrada uma sequência finita de n valores, pressupõe-se que a função sob análise f(t), de onde se originou a sequência f(k), seja periódica, com período igual ou inferior a τ.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de erro de truncamento e serrilhamento (ing. aliasing). Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A propriedade do valor inicial possui a forma seguinte:

\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_j \;=\; f(0) \;\;\;\;\; (6c)
\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f_j \;=\; n \cdot a_0 \;\;\;\;\; (6d)

onde ak são os valores da sequência DHT{f(k)} e fk são os valores da sequência f(k).

A propriedade do deslocamento do eixo, correspondente às equações (3e) e (3f) para a versão contínua, deve ser escrita da forma seguinte:

b_k \;=\; a_k \cdot cos \left( \frac{2 \pi m}{n \tau} \right) \;-\; a_{-k} \cdot sin \left( \frac{2 \pi m}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6e)

onde bk são os valores da sequência DHT{f(k + m)}, e m é um inteiro entre 0 e n. Na expressão (6e), como se trata de uma convolução cíclica, valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado, isto é, um valor na faixa [0,n].

A propriedade da primeira diferença é expressa da forma seguinte:

 b_k \;=\; a_k \cdot \left[ cos \left( \frac{2 \pi}{n \tau} \right) \;-\; 1 \right] \;-\; a_{ \left( n \;-\; \frac{1}{\tau} \right) } \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6f)

onde bk são os valores da sequência DHT{f(k + 1) - f(k)}.

O teorema de Parseval deve ser escrito da forma seguinte:

\sum_{j \;= 0}^{n \;-\; 1} [f(j)]^2 \;=\; n \cdot a_k \cdot \sum_{j \;= 0}^{n \;-\; 1} [a_k)]^2 \;\;\;\;\; (6g)1

Cálculo da DHT[editar | editar código-fonte]

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês Fast Hartley Transform). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (Fast Fourier Transform) e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos, além da computação de convoluções discretas1 .

Transformada de Hartley em duas dimensões[editar | editar código-fonte]

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões, ou seja, a transformada de Hartley de uma função f(x,y) de duas variáveis reais independentes. Da mesma forma que no caso unidimensional, existem as versões contínua e discreta da transformada bidimensional.

Transformada bidimensional de Hartley[editar | editar código-fonte]

Essa transformada é definida pela equação


H(\omega, \xi) \;=\;\mathcal{H}_2 \{ f (x,y) \} \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \mbox{cas} ( \omega x \;+\; \xi y) \; dx \; dy \;\;\;\;\; (7a)


e a inversa por


f(x,y) \;=\; \mathcal{H}_2^{-1} \{ H(\omega, \xi) \} \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega, \xi) \cdot \mbox{cas} (\omega x \;+\; \xi y) \; d \omega \; d \xi \;\;\;\;\; (7b)


Existe uma definição similar para a transformada em três dimensões14 .

Uma variante da transformada bidimensional de Hartley é a transformada CasCas, que utiliza como núcleo a função \mbox{cas} (\omega x) \cdot \mbox{cas} (\xi y). Essa possibilidade de optar entre dois núcleos também existe para a transformada bidimensional de Fourier, e representa as duas maneiras diferentes de se esquadrinhar um plano1 .

Transformada discreta bidimensional de Hartley[editar | editar código-fonte]

Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões dada por outra matriz m x n, que é a transformada discreta bidimensional de Hilbert (DHT2). Os coeficientes aj,k de tal matriz são valores reais, obtidos dos coeficientes f(j,k) pela fórmula

a_{j,k} \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{i \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \;\;\ \sum_{l \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j,k) \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 \pi i}{m \tau_m} \;+\; \frac{2 \pi l}{n \tau_n} \right) \;\;\;\;\; (7c)


onde τm e τn são o tamanho do intervalo amostrado em cada dimensão. A transformada inversa, aplicada à matriz DHT2, resulta na matriz original f; os coeficientes de f são obtidos dos coeficientes aj,k pela fórmula

f(j,k) \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{i \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \;\;\ \sum_{l \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_{j,k} \cdot \mbox{cas} \left(\frac{2 \pi i}{m \tau_m} \;+\; \frac{2 \pi l}{n \tau_n} \right) \;\;\;\;\; (7d)


Existem definições similares para transformadas em mais dimensões1 .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Quando aplicada a uma função de valores reais, o que geralmente é o caso.
  2. Essa expressão é válida apenas quando se emprega a definição (1a) para a transformada ou substitui-se ω por 2πν. Em outros casos, podem aparecer fatores de escalamento (ver o item Convenções).
  3. Uma das desvantagens da transformada de Hartley, em relação à transformada de Fourier, é justamente que a variação do ângulo de fase com a frequência não é tão clara.
  4. Conhecida como função rampa unitária.
  5. Essa propriedade é conhecida como a propriedade da finitude dos coeficientes.
  6. A prova é conhecida como o Lema de Riemann-Lebesgue.
  7. Essa propriedade é conhecida como da completude dos coeficientes.
  8. E, por conseguinte, a0 = 0.


Referências adicionais[editar | editar código-fonte]


Ligações externas[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. a b c d e f g h i j k l Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 12, pp. 293-328,ISBN 978-0-1381-4757-0
  2. a b K. Olejniczak - The Hartley Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 342 a 343
  3. Bracewell, R. - Discrete Hartley transform, in Journal of the Optical Society of America, vol. 73, issue 12, disponível em https://www.opticsinfobase.org/josa/abstract.cfm?uri=josa-73-12-1832, acessado em 29/11/2013
  4. Villasenor, J. - Optical Hartley transforms, Proc. IEEE 82 (3), 1994, pp. 391-399, disponível em http://dx.doi.org/10.1109/5.272144
  5. a b c A. Poularikas (org) - Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, Cap. 14, disponível em http://dsp-book.narod.ru/HFTSP/8579ch14.pdf, acessado em 03/10/2012
  6. K. Olejniczak - op. cit., pag. 347
  7. K. Olejniczak - op. cit., pp. 349 a 350
  8. K. Olejniczak - op. cit., pág. 352
  9. K. Olejniczak - op. cit., pág. 353
  10. K. Olejniczak - op. cit., pp. 346 e 349
  11. K. Olejniczak - op. cit., pp. 348 a 349
  12. K. Olejniczak - op. cit., pp. 354 a 355
  13. a b K. Olejniczak - op. cit., pag. 355
  14. a b K. Olejniczak - op. cit., pág. 357
  15. K. Olejniczak - op. cit., pp. 386 a 396
  16. K. Olejniczak - op. cit., pag. 344
  17. K. Olejniczak - op. cit., pp. 358 a 362
  18. K. Olejniczak - op. cit., pag. 365
  19. K. Olejniczak - op. cit., pp. 366 a 367