Transformada de Hartley

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculo e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942 (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier) .

A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por R. N. Bracewell em 1983^{[carece de fontes]}.

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa . Entretanto, a transformada óptica de Hartley não parece ser muito empregada ainda^{[carece de fontes]}.

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier .

Definição

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:

$H(\omega) \;=\; \left\{ \mathcal{H} f \right\}(\omega) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \; \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \mbox{cas} (\omega t) \; dt \;\;\;\;\; (1a)$

onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)

$\mbox{cas} (t) \;=\; \cos(t) \;+\; \sin(t) \;=\; \sqrt{2} \cdot \sin \left( t \;+\; \frac{\pi}{4} \right) \;=\; \sqrt{2} \cdot \cos \left( t \;-\; \frac{\pi}{4} \right) \;\;\;\;\; (1b)$

é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno .

Transformada inversa

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):

$f \;=\; \{ \mathcal{H} \{ \mathcal{H} f \} \} \;\;\;\;\; (1c)$

Convenções

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:

• Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o ${1}/{\sqrt{2 \pi}}$ da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
• Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente ${1}/{\sqrt{2\pi}}$ é totalmente removido. Bracewell (2000) é um exemplo de autor que segue essa convenção .
• Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo^{[carece de fontes]}.

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:

$\mathcal{F}(\omega) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \; dt$

$f(t) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i \omega t} \; d \omega$

É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.

Relação com a transformada de Fourier

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica $F(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \}(\omega)$ na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial $e^{-i \omega t} \;=\; \cos(\omega t) \;-\; i \sin(\omega t)$, onde i é a unidade imaginária.

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:

$F(\omega) \;=\; \frac{H(\omega) \;+\; H(-\omega)}{2} \;-\; i \cdot \frac{H(\omega) \;-\; H(-\omega)}{2} \;=\; H_{par}(\omega) \;-\; i \cdot H_{impar}(\omega) \;\;\;\;\; (2a)$

Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:

$\{ \mathcal{H} f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \} \;-\; \Im \{ \mathcal{F}f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \cdot (1 \;+\; i) \} \;\;\;\;\; (2b)$

onde $\Re$ e $\Im$ denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier .

Propriedades

Linearidade

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).

Teorema da convolução

Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções $x(t)$ e $y(t)$ têm transformadas de Hartley $X(\omega)$ e $Y(\omega)$, respectivamente, então sua convolução $z(t) = x * y$ tem a transformada de Hartley

$Z(\omega) \;=\; \{ \mathcal{H} (x \;*\; y) \} \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ X(\omega) Y_{par}(\omega) \;+\; X(-\omega) Y_{impar}(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3a)$

Essa expressão parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para

$Z(\omega) \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ X(\omega) Y(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3b)$

que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier .

Paridade

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar .

Função cas

As propriedades da função cas seguem-se diretamente da sua definição como uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase $\mbox{cas}(t)=\sqrt{2} \sin (t+\pi /4)$ e da trigonometria. Por examplo, com relação à adição de ângulos:

$2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \,$

Adicionalmente:

$\mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,$

e sua derivada é dada por:

$\mbox{cas}'(a) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}a} \mbox{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)$

esta função é conhecida como cas complementar .

A Transformada Discreta de Hartley

(ver o artigo principal Transformada discreta de Hartley)

A transformada de Hartley é definida em um espaço euclideano contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

$DHT \{ f(k) \} \;=\; H(\nu) \;=\; \frac{1}{n} \; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j) \cdot cas \left( \frac{2 \pi \nu}{n} \; j \right) \;\;\;\;\; (4a)$

uma expressão muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A transformada inversa é dada por:

$DHT^{-1} \{ H(\nu) \} \;=\; f(k) \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} H(\nu) \cdot cas \left( \frac{2 \pi \nu}{n} \; j \right) \;\;\;\;\; (4b)$

Perceba-se que a simetria é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por $1/\sqrt{n}$ e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de erro de truncamento e serrilhamento (ing. aliasing). Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A propriedade do valor inicial deve ser escrita da forma seguinte:

$\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} H(\nu) \;=\; f(0)$

$\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(k) \;=\; n \cdot H(0)$

A propriedade do deslocamento do eixo deve ser escrita da forma seguinte:

$DHT \{ f(k \;+\; j) \} \;=\; H(\nu) \cdot cos \left( \frac{2 \pi a}{n} \; \nu \right) \;-\; H(-\nu) \cdot sin \left( \frac{2 \pi a}{n} \; \nu \right)$

$DHT \{ f(-k) \} \;=\; H(-\nu)$

lembrando que, como se trata de uma convolução cíclica, valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado.

A propriedade da primeira diferença deve ser escrita da forma seguinte:

$DHT \{ f(k \;+\; 1) \;-\; f(k) \} \;=\; H(\nu) \cdot \left[ cos \left( \frac{2 \pi}{n} \; \nu \right) \;-\; 1 \right] \;-\; H(n \;-\; \nu) \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{n} \; \nu \right)$

O teorema de Parseval deve ser escrito da forma seguinte:

$\sum_{k \;= 0}^{n \;-\; 1} [f(k)]^2 \;=\; n \cdot H(\nu) \cdot \sum_{k \;= 0}^{n \;-\; 1} [H(\nu)]^2$

Cálculo da DHT

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês Fast Hartley Transform). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (Fast Fourier Transform) e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos</math> .

Transformada de Hartley em duas dimensões

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões. Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões ²H dada por outra matriz m x n, com valores reais dados pela fórmula

$\left. ^2 \right. DHT \{ f(j,k) \} \;=\; \left. ^2 \right. H(\nu_1,\nu_2) \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{l_1 \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \sum_{l_2 \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j,k) \cdot cas \left( \nu_1 l_1 \;+\; \nu_2 l_2 \right) \;\;\;\;\; (5a)$

E a transformada inversa é dada por

$\left. ^2 \right. DHT^{-1} \{ H(\nu_1,\nu_2) \} \;=\; f(j,k) \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{l_1 \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \sum_{l_2 \;=\; 0}^{n \;-\; 1} H(\nu_1,\nu_2) \cdot cas \left( \nu_1 l_1 \;+\; \nu_2 l_2 \right) \;\;\;\;\; (5b)$

Existem definições similares para transformadas em mais dimensões .

Referências adicionais

• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE 30, 144–150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986)
• Bracewell, R. N., Aspects of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
• Millane, R. P., Analytic properties of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).

Ligações externas

• Ralph Vinton Lyon Hartley
• The Hartley Transform, em Wolfram Mathworld