Transformada de Hilbert

O matemático alemão David Hilbert em foto de 1886.

Em matemática, a transformada de Hilbert é uma transformada integral que mapeia uma função f(x) em uma outra, û(x) (portanto, no mesmo domínio ) .

Ela recebeu esse nome em homenagem ao matemático inglês David Hilbert, que, em 1905, estudou uma transformação similar com vistas a estudar o Problema de Riemann-Hilbert sobre o círculo. Pesquisas posteriores fixaram a forma da transformação como hoje é usada, mostraram sua utilidade em campos diferentes de aplicação, como a análise harmónica , o processamento digital de sinais , a óptica , a sismologia e a física quântica , e introduziram variações, como a Transformada Discreta de Hilbert, a Transformada de Hilbert Bilinear e a Transformada de Hilbert Trilinear.

A utilidade da transformada de Hilbert advém do fato de a função g(x) = f(x) + i·û(x) (onde i é unidade imaginária) ser sempre uma função analítica (também chamada de função holomorfa ou função regular), ou seja, uma função que é diferenciável em todo o seu domínio. Em outras palavras, em toda função holomorfa, a parte imaginária é a transformada de Hilbert da parte real . Assim, a transformação de Hilbert é uma maneira prática de se obter a conjugada de uma função real qualquer f(x). Daí decorrem diversas aplicações práticas:

1. Para obter-se uma representação analítica de uma função. Em diversas aplicações, é mais fácil trabalhar com a função complexa g(x), por ser analítica, do que com a função real f(x) .
2. Como uma maneira de generalizar o conceito de fasor em aplicações onde se lida com sinais de frequências variáveis no tempo. Neste caso, diferentemente da transformada de Fourier e outras relacionadas, representa-se o sinal não como uma soma dos seus componentes senoidais, e sim como um produto de duas funções, uma de alta e outra de baixa frequência .
3. Como uma ferramenta para demodular um sinal, obtendo o seu envelope (ou envoltória) .

Este verbete trata principalmente da transformada "contínua" de Hilbert, isto é, a transformada de funções definidas em um espaço euclideano. A transformação pode ser aplicada também em espaços discretos e espaços contínuos não-euclideanos, como um toroide (ver Extensões em outros espaços, mais abaixo).

Definição

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(u)}{u - x} \; du \;\;\;\;\; (1)$

Convenções

Como também acontece com outras transformadas, o sinal da integral na definição é matéria de convenção e pode ser invertido sem mudança nas propriedades essenciais da Transformada de Hilbert. Tal inversão se encontra frequentemente na literatura.

Também é frequente expressar a variável independente na transformada como y, em lugar de x, para deixar mais clara a relação entre as funções û(y) e f(x). Tal convenção não foi usada aqui.

Neste verbete, como se verifica em toda a literatura, x é sempre uma variável real. Portanto, f(x) e û(x) são sempre funções reais. s e z denotam variáveis complexas. k (minúscula), l, m e n são constantes reais inteiras. a e b são constantes complexas. K (maiúscula), p e q são constantes reais. t e ω são variáveis reais, denotando sempre as grandezas físicas tempo e frequência angular. Evitou-se referenciar a grandeza física frequência linear, de forma a evitarem-se ambiguidades; quando necessário, usa-se a expressão $\frac{\omega}{2 \pi}$.

Cálculo e condições de existência

O cálculo da integral contida na definição apresenta dificuldades, não só porque se trata de uma integral imprópria com limites infinitos, mas principalmente porque o integrando assume valores infinitos dentro do intervalo de integração (o que se chama uma singularidade). Para contornar essas dificuldades, divide-se a integral em duas partes de modo a obter-se a formulação alternativa

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; \frac{1}{\pi} \; \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{x-\frac{1}{\epsilon}}^{x-\epsilon} \frac{f(u)}{u-x} \; du \;+\; \int_{x+\epsilon}^{x+\frac{1}{\epsilon}} \frac{f(u)}{u-x} \; du \right) \;\;\;\;\; (2)$

efetivamente excluindo-se do cálculo um intervalo simétrico de comprimento 2ε em torno da singularidade. Essa forma é chamada de valor principal de Cauchy da integral, por isso é comum, em textos mais formais, encontrar a definição da Transformada de Hilbert escrita assim:

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; \frac{1}{\pi} PV \left( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(u)}{u - x} \; du \right) \;\;\;\;\; (3)$

As expressões (2) e (3) são rigorosamente equivalentes. Neste verbete, usamos (1), por brevidade.

Substituindo-se variáveis (v = x + u, w = x - u), obtêm-se outras formulações alternativas:

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; \frac{1}{\pi} \; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{f(x+u) \; - \; f(x-u)}{u} \; du \;\;\;\;\; (4)$

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; -\; \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x \;-\; u)}{u} \; du \;\;\;\;\; (5)$

Para que a integral em (2) convirja, a função f(x) precisa atender a certas condições. Titchmarsh demonstrou que as funções no Espaço L^p com 1<p<∞ possuem transformadas de Hilbert, bem como algumas no L¹ .

Sabe-se também que a chamada condição de Paley-Wiener é necessária e suficiente para que a transformada exista. .

A maioria das funções de interesse em engenharia incluem-se nessa categoria. A tabela abaixo lista algumas dessas funções e suas respectivas transformadas.

Tabela de transformadas de Hilbert

Para detalhes, ver também Anexo:Derivação de algumas transformadas de Hilbert.

A transformada de Hilbert (em vermelho) de uma onda quadrada (em azul).

Tabela 1 - Transformadas de Hilbert de algumas funções f(x)

$f(x)$	$\hat u(x)$
$K$	$0$
$e^{ix}$	$ie^{ix}$
$e^{-ix}$	$-\; ie^{-ix}$
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-\; sin(x)$
$cas(x)$	$cas(-x)$
$sin^2(x)$	$\frac{1}{2} \; sin(2x)$
$cos^2(x)$	$- \; \frac{1}{2} \; cos(2x)$
$\delta(x)$	$-\; \frac{1}{\pi x}$
$\frac{1}{x}$	$\pi \delta(x)$
$\frac{x}{x^2 \;+\; 1}$	$\frac{1}{x^2 \;+\; 1}$
$\frac{1}{x^2 \;+\; 1}$	$-\; \frac{x}{x^2 \;+\; 1}$
$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$	$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$
$rect(x)$	$\frac{1}{\pi} ln \left| \frac{x \;-\; \frac{1}{2}}{x \;+\; \frac{1}{2}} \right|$
$tri(x)$	$\frac{1}{\pi} \left( ln \left| \frac{x \;-\; 1}{x \;+\; 1} \right| \;+\; ln \left| \frac{x^2}{x^2 \;-\ 1} \right| \right)$
$sinc(x)$	$\frac{cos(\pi x) \;-\; 1}{x}$
$\frac{sin(x)}{x}$	$\frac{cos(x) \;-\; 1}{x}$
$e^{-x^2}$	$-\; e^{-y^2}erfi(y)$
onde: $cas(x) \,$ (ing. "cosine and sine") é o núcleo da Transformada de Hartley $\delta(x) \,$ é a função impulso unitário $rect(x) \,$ é a função retangular $sinc(x) \,$ é a função seno cardinal $tri(x) \,$ é a função triangular $erfi(x) \,$ é a função erro imaginário

Transformada inversa

A transformada de Hilbert tem a propriedade conveniente de ser o negativo de sua própria inversa (o que se chama uma anti-involução):

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; - \; \mathcal{H}^{-1} \{ f(x) \}$

Isso é uma consequência do fato de a aplicação da transformação duas vezes sucessivas resultar no negativo da função original

$\mathcal{H} \{ \hat u(x) \} \;=\; \mathcal{H} \{ \mathcal{H} \{ f(x) \} \} \;=\; - \; f(x)$

Uma consequência interessante é que a aplicação da transformação três vezes sucessivas resulta na transformada inversa

$\mathcal{H} \{ \mathcal{H} \{ \mathcal{H} \{ f(x) \} \} \} \;=\; f(x)$

e assim por diante. Essas propriedades ficam mais claras se expressas através de operadores:

• $\mathcal{H} \;=\; - \; \mathcal{H}^{-1}$
• $\mathcal{H}^2 \;=\; - \; \mathcal{I}$
• $\mathcal{H}^3 \;=\; \mathcal{H}^{-1}$
• $\mathcal{H}^4 \;=\; \mathcal{I}$

Convolução

Por inspeção direta da expressão (1), percebe-se que a função û(x) é a convolução da função f(x) com a função $\left( - \; \frac{1}{\pi \; x} \right)$. Essa função é chamada núcleo de Hilbert, e será denotada neste verbete como h(x). Assim, uma outra expressão para a definição da Transformada de Hilbert é a seguinte:

$\mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \hat u(x) \;=\; h(x) * f(x) \;\;\;\;\;\; (6a)$

Propriedades elementares

Linearidade

Da expressão (1), segue-se imediatamente que a transformada de Hilbert é um operador linear. Assim, podemos escrever

$\mathcal{H} \{ a_1f_1(x) \;+\; a_2f_2(x) \} \;=\; a_1 \mathcal{H} \{ f_1(x) \} \;+\; a_2 \mathcal{H} \{ f_2(x) \}$

Dilatação e deslocamento do eixo

Da expressão (1), segue-se imediatamente que

$\mathcal{H} \{ f(ax) \} \;=\; sgn(a) \; \cdot \; \hat u(ax)$

onde sgn(a) é a chamada função sinal de a, e

$\mathcal{H} \{ f(x \;+\; a) \} \;=\; \hat u(x \;+\; a)$

Convolução

Da expressão (1), também se segue que

$\mathcal{H} \{ f_1(x) \;*\; f_2(x) \} \;=\; \mathcal{H} \{ f_1(x) \} \;*\; f_2(x) \;=\; f_1 \;*\; \mathcal{H} \{ f_2(x) \}$

Comutatividade com relação à diferenciação

Da expressão (5), aplicando-se a fórmula de Leibniz para a derivação de uma integral, segue-se que

$\frac{d}{dx} \; \mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; \frac{d}{dx} \left( \;-\; \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x \;-\; u)}{u} \; du \right) \;=\; -\; \frac{1}{\pi} \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f(x \;-\; u)}{u} \right) \; du$

$\frac{d}{dx} \; \mathcal{H} \{ f(x) \} \;=\; -\; \frac{1}{\pi} \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1}{u} \cdot \frac{d}{dx} f(x \;-\; u) \cdot du \;=\; \mathcal{H} \{ \frac{d}{dx} \; f(x) \}$

Invariância

O operador $\mathcal{H}$ apresenta propriedades de invariância quando combinado com outros operadores; por exemplo, o operador da transformação de Fourier, $\mathcal{F}$:

$\mathcal{H} \;=\; \mathcal{F}^{-1} \cdot \mathcal{H} \cdot \mathcal{F} \;\;\;\;\;(6b)$

Essa propriedade deriva do fato de a transformada de Hilbert da função impulso unitário ser igual ao núcleo de Hilbert h(x).

Interpretações físicas

Interpretação no domínio do tempo

Resposta do filtro de Hilbert no domínio do tempo.

Se, na expressão (6a), a variável independente for o tempo, a interpretação imediata é que a função û(t) é a resposta de um dispositivo a um sinal de entrada descrito por f(t). A função h(t) seria, nesse caso, a resposta desse dispositivo a um impulso unitário na sua entrada; tal resposta caracterizaria o dispositivo como um filtro linear invariante no tempo. Esse dispositivo é chamado filtro de Hilbert ou transformador de Hilbert .

Interpretação no domínio da frequência

Resposta do filtro de Hilbert no domínio da frequência.

Se denotarmos a transformada de Fourier de uma função f(x) por $\mathcal{F} \{ f(x) \} \;=\; G(\omega)$, a sua aplicação ao núcleo de Hilbert h(x) dará

$\mathcal{F} \{ h(x) \} \;=\; i \cdot sgn(\omega) \;\;\;\;\;(7)$

Podemos calcular, a partir das expressões (6a) e (7), a transformada de Fourier de uma função û(x) qualquer, que denotaremos por $\hat G(x)$

$\hat G(x) \;=\; \mathcal{F} \{ \hat u(x) \} \;=\; \mathcal{F} \{ f(x) * h(x) \}$

$\hat G(x) \;=\; \mathcal{F} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{F} \{ h(x) \} \;=\; G(\omega) \cdot ( i \cdot sgn(\omega))$

$\hat G(x) \;=\; \mathcal{F} \{ \hat u(x) \} \;=\; \left\{ \begin{matrix} -iG(\omega) & : & \omega < 0 \\ 0 & : & \omega = 0 \\ iG(\omega) & : & \omega > 0. \end{matrix} \right. \;\;\;\;\;(8)$

Podemos interpretar (8) no domínio da frequência, da seguinte maneira: a aplicação da transformada de Hilbert a uma função f(t) faz com que suas componentes harmônicas negativas sejam multiplicadas por -i, o que equivale a um deslocamento de $-\frac{\pi}{2}$ na sua fase, que suas componentes harmônicas positivas sejam multiplicadas por i, o que equivale a um deslocamento de fase de $\frac{\pi}{2}$, e que a componente contínua (ω=0) seja eliminada. A partir dessa propriedade, vê-se claramente por que a aplicação dessa filtragem duas vezes sucessivas resulta exatamente na inversão do sinal original: todas as componentes são multiplicadas por i² = -1 .

Em análise de sinais, como a transformação de Hilbert apenas muda a fase de um sinal de entrada f(t) (nos casos práticos, t sempre é maior que 0), a densidade de energia espectral do sinal de saída û(t), que é dada por |û(t)|, é a mesma daquela do sinal de entrada, que é dada por |f(t)| ou $\frac{1}{2 \pi}F(\omega)$, de acordo com Lord Rayleigh (ver também o Teorema de Parseval e o Teorema de Plancherel, que são generalizações posteriores do teorema original de Rayleigh) .

Da expressão (8), segue que, se o sinal f(t) e sua transformada û(t) forem expressos pelas correspondentes séries de Fourier, os componentes b_k de uma serão iguais aos componentes a_k da outra, a menos do sinal, para todo k > 0. Uma maneira informal de enunciar isso é dizer que a transformação de Hilbert troca os senos pelos cossenos na representação no domínio da frequência.

Uma consequência prática da expressão (8) é que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste (ver Cálculo por métodos numéricos.

Causalidade

Diz-se que um filtro é causal quando sua saída num tempo t_k não depende de nenhum valor de t > _k. Acredita-se que todos os sistemas físicos possuam essa propriedade. Assim, um filtro, para ser construído fisicamente, precisa ser causal

Uma propriedade que se segue diretamente da definição acima é que a resposta desse filtro ao impulso é nula para t < 0. Pode-se também demonstrar que, se f(t) for a resposta de um filtro qualquer no domínio do tempo, seu espectro G(ω) não conterá componentes com frequências negativas (ω<0).

Com respeito à causalidade, a transformação de Hilbert possui as seguintes propriedades:

• Como a resposta do fitro de Hilbert ao impulso não é nula para t < 0, ele não é um filtro causal.
• Demonstra-se que, se a transformada de Hilbert da resposta em frequência de um filtro existir, isso é condição necessária e suficiente para que tal filtro seja um filtro causal .

Outras propriedades importantes

Conjugado harmônico

Se denotarmos o valor da transformada de Fourier para um dado valor de x=x₁ como

$\left. G(x) \right|_{x=x1} \;=\; G(x_1) \;=\; z_1 \;=\; a \;+\; ib$

então, de (8), temos que

$\left. \hat u(x) \right|_{x=x1} \;=\; \hat u(x_1) \;=\; \left\{ \begin{matrix} b-ia & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ -b+ia & : & x > 0. \end{matrix} \right. \;\;\;\;\;(9)$

Vemos, de (9), que transformação de Hilbert efetua a troca entre as partes real e imaginária de uma função complexa. Essa propriedade é útil porque permite seu uso para encontrar as componentes conjugadas de uma dada função f(x) (ver o item Funções conjugadas neste verbete).

Simetria e ortogonalidade

Em aplicações físicas, em geral f(x) é uma função real, e, como consequência, o mesmo acontece com û(x). Como a transformada de Fourier exibe simetria hermitiana para valores reais, ou seja,

$G(-\omega) \;=\; G^*(\omega) \;\;\ \forall \; \omega \in \mathbb{R}$

isso se verificar também para $\hat G(x) \;=\; \mathcal{F} \{ \hat u(x) \}$. Assim, se û(x) for uma função par, û(-x)=û(x), e a condição $\hat G(-x) \;=\; G^*(x)$ implica em $\hat G(x) \;=\; G^*(x)$, o que só é possível se $\hat G(x)$ for uma função real. Inversamente, se û(x) for uma função ímpar, û(-x)=-û(x), e a condição $\hat G(-x) \;=\; G^*(x)$ implica em $\hat G(x) \;=\; -\; G^*(x)$, o que só é possível se $\hat G(x)$ for uma função de valores puramente imaginários.

Além disso, a expressão (8) mostra diretamente que, se $\hat G(x)$ for uma função real, G(ω) será uma função puramente imaginária e que, se $\hat G(x)$ for uma função puramente imaginária, G(ω) será uma função real. Mas a simetria hermitiana da transformada de Fourier obriga f(x) a ser uma função par no primeiro caso, e ímpar no segundo. O resultado é que, quando û(x) for uma função par, f(x) será uma função ímpar; quando û(x) for uma função ímpar, f(x) será uma função par.

A partir dessas propriedades de, pode-se provar facilmente que as funções f(x) e û(x) são ortogonais, pois

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot \hat u(x) \; dx \;=\; 0$

uma vez que o integrando será sempre uma função ímpar.

Transformada de um produto de funções

Se a função f(x) for o produto de duas funções f₁(x) e f₂(x), então G(ω)=G₁(ω)*G₂(ω) (pelo teorema da convolução). Podemos escrever G₂(ω)=G₂(ω)·(u₁(ω) + u₁(-ω)), por exemplo, onde u₁(x) é a função degrau unitário ((u₁(x) + u₁(-x) = 1). Assim, G(ω)=G₁(ω)*[G₂(ω)·u₁(ω) + G₂(ω)·u₁(-ω)]=G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(ω) + G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(-ω)]. Evidentemente, o primeiro termo é nulo para ω<0, e o segundo termo é nulo para ω>0. Daí, segue-se que

$\hat G(x) \;=\; \left[ G_1(\omega)*G_2(\omega) \cdot u_1(\omega) \;+\; G_1(\omega)*G_2(\omega) \cdot u_1(-\omega) \right] \cdot ( i \cdot sgn(\omega))$

$\hat G(x) \;=\; i \cdot (1) \cdot G_1(\omega)*G_2(\omega) \cdot u_1(\omega) \;+\; i \cdot (-1) \cdot G_1(\omega)*G_2(\omega) \cdot u_1(-\omega)$

Desenvolvendo a expressão, temos

$\hat G(x) \;=\; G_1(\omega)*\left[ iG_2(\omega) \cdot u_1(\omega) \;-\; iG_2(\omega) \cdot u_1(-\omega) \right] \;=\; G_1(\omega)*\left[ i \cdot G_2(\omega) \cdot \left( u_1(\omega) \;-\; u_1(-\omega) \right) \right]$

$\hat G(x) \;=\; G_1(\omega)*\left[ i \cdot G_2(\omega) \cdot sgn(\omega)\right] \;=\; G_1(\omega) * \hat G_2 (\omega)$

Podemos, então, escrever

$\mathcal{F} \{ \mathcal{H} \{ f_1(x) \cdot f_2(x) \} \} \;=\; \hat G(x) \;=\; \mathcal{F} \{ f_1(x) \} * \mathcal{F} \{ \mathcal{H} \{ f_2(x) \} \} \;=\; \mathcal{F} \{ f_1(x) \} \cdot \mathcal{H} \{ f_2(x) \} \}$

Assim, as funções $\mathcal{H} \{ f_1(x) \cdot f_2(x) \}$ e $f_1(x) \cdot \mathcal{H} \{ f_2(x) \}$ possuem a mesma transformada de Fourier. Devido à propriedade de linearidade desta, podemos dizer que essas funções são idênticas, a menos da adição de uma função f₀(x) cuja transformada de Fourier fosse nula. De acordo com o Teorema de Lerch, uma função com essa propriedade teria que ser uma função nula , portanto podemos desprezá-la em aplicações práticas e escrever:

$\mathcal{H} \{ f_1(x) \cdot f_2(x) \} \;=\; f_1(x) \cdot \mathcal{H} \{ f_2(x) \} \;\;\;\;\;(10a)$

A expressão (10a) é conhecida como identidade de Bedrosian . O problema de quais são as condições que as funções f₁(x) e f₂(x) precisam atender para que a transformada de Hilbert de f(x) exista ainda está em aberto, mas a restrição mais usada (ou seja, a menos estrita) é que existam valores x₁ e x₂ tais que f₁(x)=0 para todo x>x₁, que f₂(x)=0 para todo x>x₂, e que x₂>x₁ . Uma condição mais estrita, mas mais simples, é que f₁ e f sejam funções analíticas.

De acordo com essa expressão, quando precisarmos computar a transformada de Hilbert de um produto de duas funções, só será preciso calcular a transformada da função de alta frequência e multiplicá-la pela outra.

Outra consequência da expressão (10a) é que o produto dessas duas funções pode ser expresso como

$f_1(x) \cdot f_2(x) \;=\; - \; i \cdot \mathcal{H} \{ f_1 \} \cdot f_2(x) \;\;\;\;\;(10b)$

Representações alternativas para a função f(x)

Filtros passa-baixas e passa-altas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa em função de duas componentes f_L(x) e f_H(x) com o auxílio da função seno cardinal:

$f(x) \;=\; f_L(x) \;+\; f_H(x) \;\;\;\;\;(11a)$

com

$f_L(x) \;=\; f(x) \; * \; 2 f_c \; sinc(2 f_c x) \;=\; f(x) \; * \; 2 f_c \; \frac{sin(\pi \cdot 2 f_c x)}{\pi \cdot 2 f_c x} \;=\; f(x) \; * \; \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \;\;\;\;\;(11b)$

e, evidentemente,

$f_H(x) \;=\; f(x) \;-\; f_L(x) \;=\; f(x) \;-\; \left[ f(x) \; * \; \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \right] \;=\; f(x) \; * \; \left[ \delta(x) \;-\; \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \right] \;\;\;\;\;(11c)$

onde δ(x) é a função impulso unitário. A idéia é que f_L(x) contenha todas as componentes de frequências baixas (ω<2πf_c) do sinal, e f_H(x) contenha as componentes de frequências altas (ω>2πf_c). Para verificar que isso realmente acontece, basta calcular as transformadas de Fourier

$G_L(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ f_L(x) \} \;=\; \mathcal{F} \{ f(x) \; * \; \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \} \;=\; \mathcal{F} \{ f(x) \} \cdot \; \mathcal{F} \{ \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \} \;=\; G(\omega) \cdot \mathrm{rect}(2f_c)$

onde rect(x) é a função retangular:

$\mathrm{rect}(2f_c) = \sqcap(2f_c) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |x| > f_c \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |x| = f_c \\[3pt] 1 & \mbox{if } |x| < f_c \end{cases}$

De maneira similar,

$G_H(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ f_H(x) \} \;=\; \mathcal{F} \{ f(x) \; * \; \left[ \delta(x) \;-\; \frac{sin(2 \pi f_c x)}{\pi x} \right] \} \;=\; G(\omega) \cdot \left[ 1 \;-\; \mathrm{rect}(2f_c) \right]$

A função sinc(x), portanto, funciona como um filtro passa-baixas ideal.

Funções conjugadas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa de forma alternativa em função de duas componentes conjugadas f₁(x) e f₂(x):

$f(x) \;=\; f_1(x) \;+\; f_2(x) \;\;\;\;\;(12a)$

com

$f_1(x) \;=\; \frac{1}{2} \left( f(x) \;+\; ig(x) \right)\;\;\;\;\;(12b)$

$f_2(x) \;=\; \frac{1}{2} \left( f(x) \;-\; ig(x) \right)\;\;\;\;\;(12c)$

É fácil ver que a expressão (12a) é válida para qualquer g(x). No entanto, se fizermos g(x) = û(x), o espectro de frequências de f₁(x) e f₂(x) terá características muito interessantes, pois

$\mathcal{F} \{ f_1(x) \} \;=\; G_1(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ \frac{1}{2} \left( f(x) \;+\; i \hat u(x) \right) \} \;=\; \frac{1}{2} \left( G(\omega) \;+\; i \hat G(x) \right)$

$G_1(\omega) \;=\; \frac{1}{2} \left( G(\omega) \;+\; i (i \cdot sgn(\omega) \cdot G(\omega)) \right) \;=\; G(\omega)u(\omega) \;\;\;\;\;(12d)$

Similarmente, teremos

$\mathcal{F} \{ f_2(x) \} \;=\; G_2(\omega) \;=\; \frac{1}{2} \left( G(\omega) \;-\; i (i \cdot sgn(\omega) \cdot G(\omega) \right) \;=\; G(\omega)u(-\omega) \;\;\;\;\;(12e)$

O exame das expressões (12d) e (12e) revela que, nessa decomposição, uma das funções é composta por todas as componentes com frequências positivas de f(x), e a outra, por todas as componentes com frequências negativas. Por isso, essas funções são frequentemente notadas como f₊(x) e f_-(x).

Cálculo por métodos numéricos

O cálculo da transformada de Hilbert através da integração direta, a partir de alguma das suas fórmulas de definição, funciona bem para funções que não apresentem descontinuidades e que decresçam rapidamente com o aumento do valor de x. Para outros casos, devem-se empregar artifícios; um deles é usar polinômios de Hermite para calcular as integrais. Em todos os casos, como a distribuição de energia das funções f(x) e û(x) é a mesma (como mostrado aqui), o valor da energia de f(x) e de û(x), em cada frequência, pode ser calculado e comparado, de forma a obter-se uma estimativa da qualidade da aproximação resultante do método de cálculo escolhido .

Da expressão (8), segue que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste, da seguinte maneira :

1. Em primeiro lugar, expressa-se f(t) na forma de uma série de Fourier.
2. Depois, trocam-se os coeficientes dos componentes em senos pelos coeficientes em cossenos e vice-versa (isso equivale a aplicar os desvios de fase de $\frac{\pi}{2}$ e $-\frac{\pi}{2}$ onde necessário); a componente DC deve ser desprezada.

Outro método que pode ser usado é o seguinte:

1. Em primeiro lugar, calcula-se a transformada de Fourier de f(t) (por exemplo, por meio da Transformada Rápida de Fourier.
2. Depois, multiplicam-se os coeficientes dos componentes de frequências negativas por -1, deixando-se os demais inalterados; a componente DC deve ser desprezada.
3. Calcula-se a transformada inversa de Fourier do resultado.

Isso é possível devido à propriedade de invariância com relação ao operador da transformação de Fourier.

Pode-se também usar um método similar para calcular û(t) a partir da Transformada de Hartley, conforme se vê em Bracewell (2000) .

Aplicações

Modulação

A forma geral de uma onda modulada em amplitude (AM) é

$s(t) \;=\; A_c \left[ 1 \;+\; K_a m(t) \right] \cdot cos(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \;\;\;\;\;(13a)$

Um inconveniente da modulação em amplitude é que o espectro de s(t) é simétrico em relação à frequência da portadora. Isso implica que o sinal contém informação redundante, que ocupa banda passante e gasta energia dos transmissores desnecessariamente. Por isso, em lugar da forma padrão, também chamada de DSB-FC (bandas laterais duplas com portadora, ing. double side banded - full carrier), é vantajoso adotar a forma SSB (banda lateral simples, ing. single side banded).

Teoricamente, poder-se-ia eliminar a banda lateral por meio de um filtro convencional. No entanto, tal filtro teria que ter um fator de qualidade muito grande, com largura de banda estreita e atenuação elevada, o que torna difícil construí-lo a partir de um circuito eletrônico convencional. Uma alternativa é usar um filtro de Hilbert.

De acordo com as expressões (10) e (11), podemos escrever, considerando f(t) = A_c [1 + K_am(t)] (o sinal modulador), e assumindo que, em aplicações práticas, as frequências nele presentes são sempre muito menores que f_c:

$\mathcal{H} \{ s(t) \} \;=\; \hat s(t) \;=\; f(t) \cdot \mathcal{H} \{ cos(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \} \;=\; f(t) \cdot \left( - \; sin(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \right)\;\;\;\;\; (13b)$

Em primeiro lugar, expressa-se o sinal s(t) em função de duas componentes de frequências altas e baixas s_U(t) e s_L(t), ambas derivadas de f(t) e sua transformada, û(t):

$s(t) \;=\; f(t) \cdot cos(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \;=\; s_U(t) \;+\; s_L(t) \;\;\;\;\; (13c)$

sendo

$s_U(t) \;=\; \frac{1}{2} \left( f(t) \cdot cos(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \;-\; \hat u(t) \cdot sin(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \right) \;\;\;\;\; (13d)$

$s_L(t) \;=\; \frac{1}{2} \left( f(t) \cdot cos(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \;+\; \hat u(t) \cdot sin(2 \pi f_c t \;+\; \theta) \right) \;\;\;\;\; (13e)$

Desenvolvendo s_U(t), teremos

$s_U(t) \;=\; \frac{1}{2} \left[ f(t) \cdot \frac{1}{2} \left( e^{i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \;+\; e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right) \;-\; \hat u(t) \cdot \frac{-i}{2} \left( e^{i ( 2 \pi f_c t \;-\; \theta)} \;-\; e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right)\right]$

$s_U(t) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \left( f(t) \;+\; i \hat u(t) \right) \cdot e^{i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \;+\; \frac{1}{2} \left( f(t) \;-\; i \hat u(t) \right) \cdot e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right]$

De forma similar,

$s_L(t) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \left( f(t) \;+\; i \hat u(t) \right) \cdot e^{i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \;-\; \frac{1}{2} \left( f(t) \;-\; i \hat u(t) \right) \cdot e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right]$

Por inspeção das expressões (12a) a (12c), podemos escrever

$s_U(t) \;=\; \frac{1}{2} \left[ s_+(t) \cdot e^{i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \;+\; s_-(t) \cdot e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right] \;\;\;\;\;(13f)$

$s_L(t) \;=\; \frac{1}{2} \left[ s_+(t) \cdot e^{i ( 2 \pi f_c t \;-\; \theta)} \;+\; s_-(t) \cdot e^{-i ( 2 \pi f_c t \;+\; \theta)} \right] \;\;\;\;\;(13g)$

De acordo com as propriedades da transformada de Fourier, a multiplicação pelo fator e^iῳt equivale a um deslocamento na frequência igual a ῳ. Nesse contexto, a comparação com as expressões (12d) e (12e) mostram que o espectro de s_U(t) possui apenas frequências com valores de (f - f_c) positivos, ou seja, f > f_c. O inverso vale para s_L.

Demodulação

Sinal (em azul) e seu envelope (em vermelho).

A transformada de Hilbert pode ser usada para analisar um sinal s(t) que consiste de um produto de duas funções f(t) e g(t). Em aplicações práticas, uma delas é frequentemente uma oscilação de alta frequência e a outra é um sinal que contém informação útil e que se deseja destacar para análise. Nesse contexto, a primeira função é chamada de portadora e a outra, de função moduladora ou sinal modulante. Aqui suporemos que g(t) é a portadora e f(t), o sinal modulante.

Pode-se obter f(t) a partir de s(t) através da transformada de Hilbert, por meio da expressão:

$f(t) \;=\; s(t) \;+\; i \hat s(t) \;\;\;\;\; (14a)$

Essa operação é chamada de demodulação. Evidentemente, constitui o inverso da modulação, que consite em obter s(t) a partir de f(t).

Em engenharia, também se usa o termo sinal analítico forte para designar uma função analítica (ou holomorfa ou regular). Tal sinal pode ser escrito na forma geral s(t) = A(t)·e^φ(t), que representa um vetor de amplitude instantânea A e direção instantânea dada pelo ângulo de fase φ, ambos variando com o tempo. Essa representação é útil em diversas aplicações práticas . |A(t)|, que é chamado de envelope ou envoltória da modulação, é sempre positivo, o que permite a plotagem de A(t) em escala logarítmica. Evidentemente, |A(t)| = |f(t)|·|g(t)|. Muitas vezes, é desnecessário obter f(t), sendo suficiente conhecer qual é o envelope porque, como |g(t)| em geral é conhecido, fica fácil a partir dele calcular |f(t)|.

O espectro de frequências de um sinal analítico forte só contém frequências positivas. A frequência instantânea pode ser calculada como

$\omega \;=\; 2 \pi \cdot \frac{d}{dt} \; \phi(t)\;\;\;\;\; (14b)$

Em casos onde uma análise mais profunda de A(t) se faz necessária, aplica-se a transformada de Fourier. Por exemplo, quando A(t) é uma função exponencial com mais de uma constante de amortecimento. Para um exemplo, ver Thrane e outros .

Fasor no domínio da frequência

Podemos escrever o espectro de frequências de um sinal na forma polar G(ω) = A(ω)·e^φ(ω), de maneira similar ao que se fez no item anterior com a representação no domínio do tempo. Se a correspondente função de transferência no domínio da frequência complexa for dada por

$F(s) \;=\; K \; \frac{(s \;-\; a_1)(s \;-\; a_2)...(s \;-\; a_n)}{(s \;-\; b_1)(s \;-\; b_2)...(s \;-\; b_m)}$

onde K é uma constante, a₁, a₂ ... a_n são os zeros e b₁, b₂ ... b_m são os polos de F(s), pode-se escrevê-la também na forma

$F(s) \;=\; F_a(s) \cdot F_{\phi}(s)$

onde F_a consiste da constante K e dos zeros e polos cuja parte real é negativa, e F_φ consiste dos demais. Nesse caso, cada polo de F_φ deve ser o conjugado de um dos zeros, ou seja,

$F_{\phi}(s) \;=\; \frac{(s \;-\; c_1)(s \;-\; c_2)...(s \;-\; c_l)}{(s \;+\; c_1*)(s \;+\; c_2*)...(s \;+\; c_l*)}$

A amplitude de F_φ = 1, e esses polos e zeros influenciam apenas a fase de F(s). F_a é frequentemente chamada de componente de mínima fase de F(s). Pode-se demonstrar que, se escrevermos F_a(ω) na forma polar F_a(ω) = A_a(ω)·e^φ_a(ω), então

$\mathcal{H} \{ \phi_a(\omega) \} \;=\; ln \left[ A_a(\omega) \right] \;\;\;\;\; (15)$

Extensões em outros espaços

Transformada Discreta de Hilbert

Essa transformação aplica-se a funções definidas num espaço discreto como, por exemplo, o conjunto dos números inteiros. Para estender a Transformada de Hilbert dessa maneira, parte-se da Transformada Discreta de Fourier, que é justamente a extensão da Transformada de Fourier para espaços discretos.

Uma transformada integral num espaço discreto consiste numa sequência finita de coeficientes p₀, p₁, p₂, ... p_n-1 para os quais existe uma fórmula de cálculo bem definida. No caso presente, chamaremos a essa sequência DHT (do inglês Discrete Hilbert Transform). Também deve existir uma sequência análoga para a transformada inversa. Chamaremos a essa sequência DHT^-1. n é o tamanho da amostra.

A transformação é aplicada a uma sequência de valores q₀, q₁, q₂, ... q_n-1, que chamaremos aqui de Q. Q, DHT e DFT (do inglês Discrete Hilbert Transform) precisam ter o mesmo tamanho da amostra.

Pode-se calcular os coeficientes da DHT de uma das maneiras seguintes :

$DHT (k) \;=\; DFT^{-1} \{ H(k) \cdot DFT \{ Q(k) \} \} \;\;\;\;\; (16a)$

ou

$DHT (k) \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} H^{-1}(k \;-\; j) \cdot Q(j) \;\;\;\;\; (16b)$

onde H é outra sequência, que corresponde ao núcleo de Hilbert em forma discreta, e H^-1, sua inversa

$H (k) \;=\; i \cdot sgn \left(\frac{n}{2} \;-\; k \right) \cdot sgn(k) \;\;\;\;\; (16c)$

$H^{-1} (k) \;=\; \left\{ \begin{matrix} -\; \frac{2}{n} \cdot sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \; k \right) \cdot cot \left( \frac{\pi}{n} \; k \right) & : & n \; par \;\and\; k \;>\; 0 \\ - \; \frac{1}{n} \cdot \left[ cot \left( \frac{\pi}{n} \; k \right) \;-\; \frac{cos (\pi k)}{sin \left( \frac{\pi k}{n} \right)} \right] & : & n \; impar \;\and\; k \;>\; 0 \\ 0 & : & k \;=\; 0 . \end{matrix} \right. \;\;\;\; (16d)$

Para a transformação inversa, usamos

$DHT^{-1} (k) \;=\; DFT \{ H^{-1}(k) \cdot DFT^{-1} \{ DHT(k) \} \} \;\;\;\;\; (17a)$

ou

$DHT^{-1} (k) \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} H(k \;-\; j) \cdot DHT(j) \;\;\;\;\; (17b)$

As expressões (16a) e (16b) são versões discretas das expressões (5) e (6b). As expressões (16b) e (17b) são convoluções discretas, isto é, convoluções num domínio discreto; nessas expressões, H(k-j) e H^-1(k-j) são matrizes n x n, pois os elementos dependem de k e de j. As expressões (16a) e (17a) são mais usadas na prática, pois DFT e DFT^-1 podem ser calculadas de forma muito eficiente através do algoritmo da Transformada Rápida de Fourier .

A tabela abaixo confronta os conceitos envolvidos nas transformações de Hilbert nos domínios contínuo e discreto, para ilustrar as definições acima.

Tabela 2 - Transformada de Hilbert nos domínios contínuo e discreto

Conceito	Contínuo	Discreto
Domínio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{N}$
Variável	$x$	$k$
Função original	$f(x)$	$Q(k)$
Função transformada	$\hat u(x)$	$DHT(k)$
Espectro de frequências	$G(\omega)$	$DFT(k)$
Faixa	$-\infty \;\le\; x \;\le\; \infty$	$0 \;\le\; k \;\le\; n \;-\; 1$
Núcleo da transformação	$h(x) \;=\; - \; \frac{1}{\pi x}$	$H(k)$

A amostragem deve ser feita em intervalos de tempo iguais; chamaremos aqui de t_a a esse intervalo de amostragem. A teoria exige que a frequência da amostragem seja feita com uma frequência de pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal de entrada. Em outras palavras, se denotarmos tal frequência por f_max, é preciso que

$t_a \;\le\; \frac{1}{2 f_{max}} \;\;\;\;\; (18a)$

Para um número de amostras muito grande, pode-se usar a expressão simplificada

$H^{-1} (k) \;=\; \left\{ \begin{matrix} -\; \frac{2}{\pi n} & : & k \;>\; 0 \\ 0 & : & k \;=\; 0 . \end{matrix} \right. \;\;\;\; (16e)$

que se obtém tomando o limite n → ∞ na expressão (16d). Essa aproximação não funciona bem para valores pequenos de n, porque a convergência do cálculo através da expressão (16b) não é uniforme .

No anexo, encontram-se exemplos de derivação de algumas DHTs.