Transformada de Legendre

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A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função  Y = Y_{(X_0 , X_1, X_2, ... X_n)} sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes  x_i , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais  P_i = \frac{\part Y_{(X_0, X_1, ... X_n)}}{\part x_i} associadas, e não as variáveis  x_i em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita",  \Psi = \Psi_{(P_0 , P_1, P_2, ... P_n)} . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.[1]

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica[editar | editar código-fonte]

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado[editar | editar código-fonte]

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir das mesmas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U:  S = S_{(U, V, N)} . No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em  S_{(U,V,N)} tem-se facilmente  U_{(S,V,N)} , também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron  PV=NRT e a equação da energia  U = \frac{n}{2} K_bT (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron  P_{(V,T, N)} e a da energia  U = U_{(T)} , em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com  k_B representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui [2] :

S_{(U,V,N)}= \frac {3}{2} Nk_B \ln\left(\frac {U}{N}\right) + Nk_B \ln\left(\frac{V}{N}\right) +Nk_Bc [3]

Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

 U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)}

Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão  P , temperatura  T , e potencial químico  \mu ( onde P= -\frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part V} ,  \mu = \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part N} e  T= \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part S} no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia[editar | editar código-fonte]

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

  • A energia interna U, onde  U = U_{(S,V,N)}  : a representação padrão no formalismo da energia.
  • A entalpia H, onde  H = H_{(S, P, N)} : decorre da substituição da grandeza extensiva V em  U = U_{(S, V, N)} pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo  H = H_{(S, P, N)} "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.
  • A energia livre de Gibbs G, onde  G = G_{(T, P, N)} : decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em  U = U_{(S, V, N)} , mediante G= U-TS+PV , sendo  G = G_{(T, P, N)} "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.
  • O grande potencial canônico,  C = C_{(T,V, \mu_1,\mu_2...)} , decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas N_i pelas correspondentes intensivas  \mu_i em  U = U_{(S, V, N_1, N_2...)} , mediante  C= U-TS- \Sigma \mu_i N_i , sendo  C = C_{(T,V,...,\mu_i)} "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental  U = U_{(S, V, N)} pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental,  S = S_{(U, V, N)} , o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental  S = S_{(U, V, N)} em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas gerericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna U_{(S,V,N)} e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre[editar | editar código-fonte]

Descrição[editar | editar código-fonte]

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação  f'_{(x)} = P_{(x)} = \frac {\part f_{(x)}}{\part x} no ponto x.
Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos  \Psi e as inclinações P das respectivas retas:  \Psi = -P^2/4 no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra:  \Psi = +P^2/4 ).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função  Y_{(X)} dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo  P = \frac {\part {Y_{(X)}}}{\part x} = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função  Y_{(P)} onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em  Y_{(X)} mediante a relação estabelecida entre P e X por  P =  \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido  Y_{(P)} , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial  Y_{(X)} . Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial  Y_{(X)} é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial  Y_{(X)} partindo-se de  Y_{(P)} , a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação  Y_{(P)} que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação  Y_{(X)} da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva  Y_{(X)} no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto  \psi onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

 P = \frac {\Delta Y}{\Delta X} = \frac {Y - \psi}{X-0}

donde tem-se

 \psi = Y - PX

Como as expressões  Y_{(X)} e  P = P_{(X)} são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e  \psi na equação acima, o que fornece a procurada relação  \psi = \psi_{(P)} . Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto  \psi onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original  Y_{(X)} partindo-se da equação  \psi_{(P)} , basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação[4] , à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre:  Y_{(X)} <-> \psi_{(P)}
Y=Y_{(X)}  \Psi = \Psi_{(P)}
P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} -X=\frac {\part \psi_{(P)}}{\part P}
Determinar  X=X_{(P)} e Y=Y_{(P)} Determinar  P=P_{(X)} e \Psi=\Psi_{(X)}
\Psi = -PX + Y  Y = XP + \Psi
Eliminação de X e Y fornece \Psi = \Psi_{(P)} Eliminação de P e \Psi fornece  Y=Y_{(X)}
\Psi = \Psi_{(P)}  Y=Y_{(X)}

Ao rigor da Matemática [5] [editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

Em matematica, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ definida por:

f^\star(p) = \max_x\bigl(px-f(x)\bigr).

Se ƒ é diferenciável, então ƒ(p) pode ser interpretado como o negativo [6] do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

f^\prime(x) = p.

Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ satisfaz a definição de um funcional.

f^\star(f'(x)) = x f'(x) - f(x).

A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar px-f(x) em relação a x, faz-se a sua derivada igual a zero:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1)

Então a expressão é maximizada quando:

p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}. \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ (2)

Quando f é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

{\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se x como função de p e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

f^\star(p) = p \,\, x(p) - f(x(p)).

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de f(x): encontre p = {df \over dx}, inverta para x e substitua o resultado em xp-f(x). Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente x é substituída por p = {df \over dx}, o qual é a derivada da função original em respeito a x.

Consideração importante[editar | editar código-fonte]

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: f e f^\star são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

Df = \left( Df^\star \right)^{-1}.

Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de f^\star:

{df^\star(p) \over dp} = {d \over dp}(xp-f(x)) = x + p {dx \over dp} - {df \over dx} {dx \over dp} = x.

Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

p = {df \over dx}(x),
x = {df^\star \over dp}(p).

Vê-se que Df e Df^\star são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

f(x) + f^\star(p) = x\,p.

embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

f(x) - f^\star(p) = x\,p.

O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Com uma variável[editar | editar código-fonte]

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função Y_{(X)}=X^2

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} = 2X

Logo, para a linha 3:  X = \frac {p}{2}

e  Y = X^2 = \left(\frac {p}{2}\right)^2

Da linha 4:  \Psi = -PX + Y

Eliminando-se X e Y:

 \Psi = -P\left(\frac{P}{2}\right) + \left(\frac{P}{2}\right)^2

resulta em:

 \Psi = \frac{-P^2}{4}

Assim, a Transformada de Legendre para Y_{(X)}=X^2 é  \Psi_{(P)} = \frac{-P^2}{4} [7]

A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis[editar | editar código-fonte]

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz  F_{(T,V,N)} para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna  U_{(S,V,N)} .

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

 U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)}

da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

 F = U - TS

mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

 T = \left(\frac {\part U_{(S,V,N)}}{\part S}\right)_{V,N}

onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

 T = \left(\frac {\part U_{(S,V,N)}}{\part S}\right)_{V,N} = \frac {2}{3k_B} \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3}\left(\frac{S}{Nk_B}-c\right)}

Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

 S = \frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B

a ser substituída em

 F = U-TS = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)} - TS

o que resulta em:

 F = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {\frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B}{Nk_B} -c\right)} - T\left(\frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B\right)

Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

 F = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{2} k_BT \left(\frac {V}{N}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} Nk_BT \ln\left[\frac{3}{2} k_BT \left(\frac {V}{N}\right)^{\frac{2}{3}}\right] - cNk_BT

o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

 F_{(T,V,N)} = Nk_BT \ln\left(\frac{N}{V}\right) - \frac{3}{2}Nk_BT \ln\left(\frac{3k_BT}{2}\right) + Nk_BT \left(\frac{3}{2}-c\right)

que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Termodinâmica: tabelas de transformadas[editar | editar código-fonte]

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de  U_{(S,V,N)} tem-se:
U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}
T=\frac {\part U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\part S} -P=\frac {\part U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\part V}  T=\frac {\part H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\part S} \mu_i =\frac {\part F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\part N_i}
Determinar  S=S_{(T,V,N_1,N_2...)} e U=U_{(T,V,N_1,N_2...)} Determinar  V=V_{(S,P,N_1,N_2...)} e U=U_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  S=S_{(T,P,N_1,N_2...)} e  H=H_{(T,P,N_1,N_2...)} Determinar  F=F_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)} e N_i=N_{i(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
F = U - TS  H = U + PV  G = H - TS C = F - \Sigma \mu_iN_i
Eliminação de U e S fornece: Eliminação de U e V fornece: Eliminação de H e S fornece: Eliminação de F e N_i fornece:
Energia Livre de Helmholtz F Entalpia H Energia livre de Gibbs G Grande Potencial Canônico C
F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}  H=H_{(S,P, N_1,N_2...)}  G=G_{(T,P, N_1,N_2...)}  C=C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a  U_{(S,V,N)} tem-se:
F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}  H=H_{(S,P, N_1,N_2...)}  G=G_{(T,P, N_1,N_2...)} C = C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
 -S =\frac {\part F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\part T} V=\frac {\part H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\part P}  -S=\frac {\part G_{(T,P,N_1,N_2...)}}{\part T} -N_i =\frac {\part C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}}{\part \mu_i}
Determinar  T=T_{(S,V,N_1,N_2...)} e F=F_{(S,V,N_1,N_2...)} Determinar  P=P_{(S,V,N_1,N_2...)} e H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  G=G_{(S,P,N_1,N_2...)} e  T=T_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  C=C_{(T,V,N_1,N_2...)} e  \mu_i = \mu_{i(T,V,N_1,N_2...)}
U = F + TS  U = H - PV  H = G + TS  F = F + \Sigma \mu N_i
Eliminação de T e F fornece: Eliminação de P e H fornece: Eliminação de G e T fornece: Eliminação de C e \mu_i fornece:
Energia Interna U Energia Interna U Entalpia H Energia Livre de Helmhotz F
U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}

Lagrangianas e Hamiltonianos[editar | editar código-fonte]

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange [8] garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de  S_{(U,V,N)} na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

 L = L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado  P_k conjugado à correspondente velocidade  v_k é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade v_k (k<=r):

 P_k = \frac {\part L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}} {\part v_k}

Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

 (-H) = L - \Sigma_1^r{P_k v_k}

Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental  H_{(P_1,P_2,...P_r,q_1,q_2,...,q_r)}

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

 L_{(x,\dot{x})} = T - U  = \frac {1}{2}m \dot{x}^2-\frac {1}{2}kx^2

Nesta equação,  \dot{x} representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

L = L_{(x_1,x_2,...,x_n, \dot{x_1},\dot{x_2},...,\dot{x_n})} tem-se, com i=1,2,...

que:

 \frac {\part L}{\part x_i} - \frac {d}{dt} \frac {\part L}{\part \dot{x_i}} = 0

Para o problema em questão:

\frac{\part L}{\part x} = -kx

\frac{\part L }{\part \dot{x}}= m \dot {x}

\frac {d}{dt} \left(\frac {\part L}{\part \dot{x}}\right) = m\ddot{x}

O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

 m \ddot {x}+kx = 0 , que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

 X(t) = A cos (kx-\omega t + \phi)

onde  \omega = \left(\frac {k}{m}\right)^ \frac {1}{2}

Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade  \dot{x} é:

 P = \frac {\part L_{(x, \dot{x})}}{\part \dot{x}} = m \dot{x}

de onde, isolando-se  \dot{x}

 \dot{x} = \frac {P}{m}

Determinando-se o Hamiltoniano H através de

(-H) = L - P \dot{x}

tem-se, já eliminando-se  \dot{x} em favor de P:

 (-H) = \frac {1}{2}m \left(\frac{P}{m}\right)^2-\frac {1}{2}kx^2 - P \left(\frac {P}{m}\right)

Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

 H_{(P,x)} = \frac {P^2}{2m} + \frac {1}{2}kx^2

Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

 \dot{x} = \frac {\part H}{\part P} = P/m

 - \dot{P} = \frac {\part H}{\part x} =  kx

Da primeira tem-se:

 P = m \dot{x} donde

 \dot {P} = m \ddot {x} para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

 -\dot{P} =  kx  = - m \ddot {x}

e por fim

 kx  + m \ddot {x} = 0

que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.

Referências

  1. A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8
  2. A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo Gases ideais.
  3. Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 - ISBN 85-314-0386-3
  4. O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seção Consideração importante para maiores detalhes.
  5. Conforme tradução parcial do artigo encontrado na versão anglófona da Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas.
  6. Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto.
  7. Ao rigor da matemática,  \Psi_{(P)} = \frac{+P^2}{4}.
  8. Para maiores detalhes sobre os formalismos de Lagrange e de Hamilton consulte Thornton; Marion - Classical Dynamics of Particle and Systems Fourth Edition - Sounders College Publishing, 1995 - ISBN 0-03-097302-3

Ver também[editar | editar código-fonte]