Transformada de Mellin

Em matemática a transformada de Mellin de uma função $f$, definida sobre o eixo real positivo, é a integral

$M_f(s) := \int_{0}^\infty f(t)t^{s-1}dt$

para números complexos $s$, desde que a integral seja convergente.

A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é expressa com um fator normalizante $1 \over {\Gamma(s)}$, sendo $\Gamma(s)$ a função gama.

A transformada de Mellin é equivalente à Transformada de Fourier. Substituindo na integral acima $t = e^x$, com $F(x) = f(e^x)$, e denominando a transformada de Fourier da função $F$ como $\widehat F$, então

$M_f(is) = \sqrt{2\pi}\widehat F(s)$.

Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso

$f(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} M_f(s)x^{-s}ds$

com $c>0$.

Mediante a transformada de Mellin pode ser estabelicida uma relação entre uma série de Dirichlet e uma série de potências. Sejam

$f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}$ e $F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n$

com os mesmos $a_n$. Então

$f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty F(e^{-t})t^{s-1}dt$.

Para todos os $a_n=1$, resulta para $f$ a função zeta de Riemann, e portanto

$\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}dt$.

Bibliografia

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1998, ISBN 3-540-63744-3
• R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1989, ISBN 3-540-51238-1
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3ª edição 1986, ISBN 978-0828403245
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag : Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1981, ISBN 3-540-10603-0