Transformada de Mellin

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Em matemática a transformada de Mellin de uma funçãonota 1 f, definida sobre o eixo real positivo, é a integral


{\mathcal{M}} \{ f(t) \} \;=\; F(s) \;=\; \int_{0}^{\infty} f(t) \cdot t ^ {s - 1} \; dt \qquad (1a)


para a variável complexa s, desde que a integral seja convergente.

A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é às vezes expressa com um fator normalizante 1 \over {\Gamma(s)}, sendo \Gamma(s) a função gama.

A transformada de Mellin se relaciona com a transformada de Fourier e com a transformada de Laplace, mediante uma substituição de variáveis conveniente (ver detalhes abaixo).

Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso


f(x) = {\mathcal{M}}^{-1} \{ F(s) \} \;=\; \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} F(s) \cdot t^{-s} \; ds \qquad (1b)


com c adequadamente escolhido.

Mediante a transformada de Mellin pode ser estabelecida uma relação entre uma série de Dirichlet e uma série de potências. Sejam

f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s} e F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n

com os mesmos a_n. Então

f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty F(e^{-t})t^{s-1}dt.

Para todos os a_n=1, resulta para f a função zeta de Riemann, e portanto

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}dt1 2 3 4

A transformada de Mellin pode ser usada na solução de equações diferenciais e de equações integrais, o que a torna útil em ramos da Física e da Engenharia (ver exemplos).

Uma série convergente pode ser convertida, por meio da transformada de Mellin, em uma integral ou em uma outra série de convergência mais rápida (ver detalhes abaixo). Assim, a transformada também é útil em aplicações de cálculo numérico puro.

Em análise matemática, uma transformação similar homônima, que aqui chamaremos transformada dual de Mellin para evitar confusões, é definida em um espaço L2 por


\bar{\mathcal{M}} \{ f(\nu) \} \;=\; \bar{F} (\beta) \;=\; \int_0^{\infty} f(\nu) \cdot \nu ^ {r + i 2 \pi \beta} \; d \nu \qquad |\; r \;>\; 0 \qquad (1c)


e também apresenta propriedades úteis; a principal delas, a de ser um operador unitário num espaço de Hilbert convenientemente definido. As variáveis ν e β são números complexos adimensionais. Essa transformação é um caso especial da equação (1a) onde a parte real de s (s = α + iβ) é mantida fixa (r = α - 1).

Sua versão discreta, a transformada discreta de Mellin encontra várias aplicações práticas em análise de sinais.


História[editar | editar código-fonte]

Essa transformação foi estudada inicialmente por Riemann em conexão com a função zeta. O trabalho de Riemann foi estendido posteriormente por Cahen. Mellin foi, entretanto, o primeiro matemático a estudar sistematicamente as propriedades da transformada e de sua inversa.

O interesse de Mellin era a teoria das funções especiais e seu uso na solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler. Hoje, a transformada de Mellin encontra aplicações em diversas áreas da Física e da Engenharia, além da Matemática pura (análise complexa) e no cálculo numérico5 .

Entre as aplicações padrão da transformada de Mellin, podem-se citar o cálculo de séries infinitas, o cálculo de integrais de produtos de funções, a solução da equação de Euler-Cauchy, a solução da equação de Laplace em uma cunha infinita (ver exemplo), a análise da expansão assintótica de integrais e a análise do comportamento assintótico de séries harmônicas6 .


Definições[editar | editar código-fonte]

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Em geral, a integral (1a) converge para uma faixa de valores de s tais que a_i \;<\; \Re \{ s \} \;<\; a_f \;|\; a_i,a_f \in \mathcal{R}. ai e af, por sua vez, dependem da função a ser transformada f(t). Em casos especiais, a assim chamada faixa de definição de F(s) se estende por um semiplano ou para todo o plano complexo. Por exemplo, se f(t) = u(t - a) · tz, onde u(t) é a função degrau unitário, a é um número real e z, um número complexo, F(s) será dada por:


 F(s) \;=\; \mathcal{M} \{ f(t) \} \;=\; \int_0^{\infty} u(t \;-\; a) \cdot t^z \cdot t^{s - 1} \; dt \;=\; \int_a^{\infty} t^{z + s - 1} \; dt \;=\; -\frac{a^{z + s}}{z \;+\; s}


que existe para todo s tal que \Re \{ s \} \;<\; - \Re \{ z \}. Neste exemplo, a faixa de definição de F(s) ocupa um semiplano.6

Quanto à integral (1b), as condições para a convergência são as seguintes:

  • F(s) deve ser uma função holomórfica na faixa de definição, e af > ai
  • a função s2 · |F(s)| deve ser limitada nessa faixa

Se a função F(s) for definida em diversas faixas disjuntas, haverá uma função f(t) inversa para cada uma dessas faixas. Por isso se diz que a transformada de Mellin de uma dada função f(t) consiste de um par {F(s),S(s)}, sendo S(s) a respectiva faixa de definição. Por exemplo, a função g(t) = [u(t - a) - u(t)] · tz possui a mesma transformada de Mellin F(s) que a função f(t) do exemplo anterior, mas sua faixa de definição é diferente: ela existe para todo s tal que \Re \{ s \} \;>\; - \Re \{ z \}7 .

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Para uma dada função f(t), a transformada F(s) é única e dada pela equação (1a). Para um dado par transformada/faixa de definição {F(s),S(s)}, a transformada inversa é única e dada pela equação (1b)8 .

Séries infinitas[editar | editar código-fonte]

A expressão (1a) se aplica também quando f(t) é uma série convergente de termos bknota 2 , podendo-se escrevê-la então como

f(t) \;=\; \sum_{j \;=\; 1}^{\infty} b_j

Nesse caso, vale a seguinte fórmula de inversão


f(t) \;=\; \frac{1}{i 2 \pi} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} B(s) \cdot \zeta(s) \qquad (1d)


onde B(s) é a transformada de Mellin da função b(t) = bt e ζ(x) é a função zeta de Riemann9 .


Relação com outras transformadas[editar | editar código-fonte]

A transformada de Mellin pode ser relacionada com a transformada de Laplace por meio da substituição de variáveis t = e-x. Por meio dela, a expressão (1a) se torna


F(s) \;=\; \int_{0}^{\infty} f(t) \cdot t^{s-1} \; dt \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} f(e^{-x}) \cdot e^{-sx-1} \cdot \frac{1}{-e^{-x}} \; dx \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} f(e^{-x}) \cdot e^{-sx} \; dx


que é a definição da transformada de Laplace bilateral, apenas com o argumento de f(x) alterado. Pode-se então escrever


\mathcal{M} \{ f(t) \} \;=\; \mathcal{B} \{ f(e^{-x}) \} \qquad (2a)


onde o operador \mathcal{B} denota a transformação de Laplace bilateral. A transformada de Laplace usual, definida apenas no intervalo [0,∞), concorda com a versão bilateral nesse intervalo. Em todas as aplicações práticas, uma escolha adequada da origem garante que a função f(t) analisada tenha suporte limitado a esse intervalo.

Se escrevermos agora a variável s na forma s = α + iβ, F(s) pode ser reescrita como


F(\alpha, \beta) \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} f(e^{-x}) \cdot e^{- \alpha x} \cdot e^{- i \beta x} \; dx


que é a definição da transformada de Fourier da função g(x) = e- α x · f(e-x). Pode-se então escrever


\mathcal{M} \{ f(t) \} \;=\; \mathcal{F} \{ e^{-\alpha x} \cdot f(e^{-x}) \} \qquad (2b)


onde o operador \mathcal{F} denota a transformação de Fourier10 11 .


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Como em toda transformada integral, o operador \mathcal{M} é linear. Outras propriedades importantes são apresentadas abaixo. Por convenção, F(s) é a transformada de f(t) e G(s), de g(t); a é qualquer número real positivo; b é qualquer número real diferente de 0; k é um inteiro positivo; z é um número complexo qualquer. As faixas de definição são explicitadas apenas quando não evidentes.

Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

A expressão do teorema de Parseval para a transformada de mellin é um pouco mais complexa do que o é para outras transformadas integrais, devido à potencial existência de diversas faixas de definição. Sejam 2 funções f(t) e g(t) cujas transformadas e faixas de definição são, respectivamente, {F(s),Sf} e {G(s),Sg}. Podemos escrever


\int_0^{\infty} f(t) \cdot g(t) \; dt \;=\; \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} F(s) \cdot G(1 \;-\; s) \; ds \qquad |\; c \in S_f \;\and\; (1 \;-\; c) \in S_g \qquad (3a)12 13

Escalamento dos eixos[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \{ f(at) \} \;=\; a^{-s} \cdot F(s) \qquad (3b)14 13


Potenciação[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \{ f(t^b) \} \;=\; \frac{1}{|b|} \; F \left( \frac{s}{b} \right) \qquad (3c)14 13


Diferenciação[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \left\{ f(t) \cdot \left[ \ln(t) \right] ^ k \right\} \;=\; \frac{d}{ds^k} \; F(s) \qquad (3d)


\mathcal{M} \left\{ \frac{d}{d t^k} f(t) \right\} \;=\; (-1)^k \; F(s \;-\; k) \cdot \prod_{j = 0}^{k - 1} (s \;-\; k \;+\; j) \qquad (3e)14 13


Multiplicação por potência[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \{ f(t) \cdot t ^ z \} \;=\; F(s \;+\; z) \qquad (3f)14 13


Integração[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \left\{ \int_{a + 1}^{\infty} f(t) \; dt \right\} \;=\; \frac{1}{s} \cdot F(s \;+\; 1) \qquad (3g)


\mathcal{M} \left\{ \int_0^{a + 1} f(t) \; dt \right\} \;=\; - \; \frac{1}{s} \cdot F(s \;+\; 1) \qquad (3h)14 13


Derivada de Mellin[editar | editar código-fonte]

De (3c) e (3e) decorre o caso especial bastante útil


\mathcal{M} \left\{ t^k \cdot \frac{d}{d t^k} f(t) \right\} \;=\; (-1)^k \; s^k \cdot F(s) \qquad (3i)14 13


o operador \left( t^k \cdot \frac{d}{d t^k} \right) é conhecido como a derivada de Mellin.

Coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

As expressões (1a) e (1b) se aplicam também quando se usam coordenadas polares. Nesse caso, as seguintes propriedades são úteis para a inversão:


\mathcal{M} \left\{ \frac{}{} \Re \left\{ f(r \cdot e^{i \theta} \right\} \right\} \;=\; F(s) \cdot \cos (s \theta) \qquad (3j)


\mathcal{M} \left\{ \frac{}{} \Im \left\{ f(r \cdot e^{i \theta} \right\} \right\} \;=\; - \; F(s) \cdot \sin (s \theta) \qquad (3k)


onde r e θ são, respectivamente, o raio vetor e o ângulo polar15 .

Momentos[editar | editar código-fonte]

A transformada de Mellin F(s) pode ser considerada o momento de ordem (s-1) da função f(t) no intervalo [0,). Assim, a área sob a curva f(t) (momento de ordem 0) é dada por F(1), o primeiro momento é dado por F(2), o segundo por F(3) e assim por diante. A abcissa do centroide é dada por t_c \;=\; \frac{F(2)}{F(1)}11 .

Produto de funções[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \{ f(t) \cdot g(t) \} \;=\; \frac{1}{i 2 \pi} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} F(\tau) \cdot G(t \;-\; \tau) \; d \tau \qquad (3l)


\mathcal{M} \left\{ \int_{0}^{\infty} f \left( \frac{t}{\tau} \right) \cdot g(\tau) \; d \tau \right\} \;=\; F(s) \cdot G(s) \qquad (3m)


\mathcal{M} \left\{ \int_{0}^{\infty} f \left( \frac{t}{\tau} \right) \cdot \frac{g(\tau)}{\tau} \; d \tau \right\} \;=\; F(s) \cdot G(s \;+\; 1) \qquad (3n) 11


Esta última propriedade é muito útil e leva à definição da convolução de Mellin (ver abaixo).

Convolução de Mellin[editar | editar código-fonte]

O teorema da convolução, na forma usual, não se aplica à transformada de Mellin. No entanto, pode-se definir uma outra operação similar, chamada de convolução de Mellin ou convolução multiplicativa de duas funções f(t) e g(t) como


f(t) \;\star\; g(t) \;=\; \int_0^{\infty} \frac{f(\tau)}{\tau} \cdot g \left( \frac{t}{\tau} \right) \; d \tau \qquad (4a)16

A faixa de definição da convolução é a interseção das faixas de definição de cada função13 .

Esse operador possui as seguintes propriedades notáveis:

Comutatividade[editar | editar código-fonte]

f(t) \;\star\; g(t) \;=\; g(t) \;\star\; f(t) \qquad (4b)16 13

Associatividade[editar | editar código-fonte]

\left[ \frac{}{} f(t) \;\star\; g(t) \right] \;\star\; h(t) \;=\; f(t) \;\star\; \left[ \frac{}{} g(t) \;\star\; h(t) \right] \qquad (4c)16 13

Elemento neutro[editar | editar código-fonte]

f(t) \;\star\; \delta(t \;-\; 1) \;=\; f(t) \qquad (4d)

onde δ(t) é a função impulso unitário16 13

Derivação de Mellin[editar | editar código-fonte]

\left[ t^k \frac{d}{d t^k} \right] \left[ \frac{}{} f(t) \;\star\; g(t) \right] \;=\; \left[ t^k \frac{d}{d t^k} \; f(t) \right] \;\star\; g(t) \;=\; f(t) \;\star\; \left[ t^k \frac{d}{d t^k} \; g(t) \right] \qquad (4e)

ou seja, basta aplicar o operador derivada de Mellin a um dos termos16 13 .

Logaritmo[editar | editar código-fonte]

\ln \left( \frac{}{} f(t) \;\star\; g(t) \right) \;=\; \left[ \ln \left( \frac{}{} f(t) \right) \;\star\; g(t) \right] \;+\; \left[ f(t) \;\star\; \ln \left( \frac{}{} g(t) \right) \right] \qquad (4f)16 13

Impulso unitário[editar | editar código-fonte]

f(t) \;\star\; \delta (t \;-\; a) \;=\; \frac{1}{a} \; f \left( \frac{t}{a} \right) \qquad (4g)
\delta (t \;-\; a) \;\star\; \delta(t \;-\; d) \;=\; \delta (t \;-\; ad) \qquad (4h)
\delta ^ k (t \;-\; 1) \;\star\; f(t) \;=\; \frac{d}{d t^k} \; \left[ t^k \cdot f(t) \right] \qquad (4i)

onde a e d são números reais positivos e δk é a k-ésima derivada da função impulso unitário16 13 .


Tabela de transformadas de Mellin[editar | editar código-fonte]

Tabela 1 - Transformadas de Mellin de algumas funções f(t)13 11
f(t) \qquad |\; t \;>\; 0 F(s) S(s)
e^{-at} a^{-s} \cdot \Gamma(s) \Re \{ s \} \;>\; 0
u(t \;-\; a) \cdot t ^ b  - \; \frac{a^{s + b}}{s \;+\; b} \Re \{ s \} \;<\; - \; \Re \{ b \}
u(a \;-\; t) \cdot t ^ b \frac{a^{s + b}}{s \;+\; b} \Re \{ s \} \;<\; - \; \Re \{ b \}
\left[ \frac{}{} u(t \;-\; a) \;-\; u(t) \right] \cdot t ^ b - \; \frac{a^{s + b}}{s \;+\; b} \Re \{ -s \} \;>\; - \; \Re \{ b \}
\frac{1}{1 \;+\; t} \frac{\pi}{\sin (\pi s)} 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
\frac{1}{(1 \;+\; t) ^ b} \frac{\Gamma(s) \cdot \Gamma(b \;-\; s)}{\Gamma(b)} 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; \Re \{ b \}
\frac{1}{1 \;-\; t} \pi \; \cot (\pi s) 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
\frac{1}{1 \;+\; t ^ 2} \frac{\pi}{2 \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right)}
u(1 \;-\; t) \cdot (1 \;-\; t) ^ {z - 1} \frac{\Gamma(s) \cdot \Gamma(z)}{\Gamma(s \;+\; z)} \Re \{ s \} \;>\; 0
u(t \;-\; 1) \cdot (t \;-\; 1) ^ {-w} \frac{\Gamma(w \;-\; s) \cdot \Gamma(1 \;-\; w)}{\Gamma(1 \;-\; s)} \Re \{ s \} \;<\; \Re \{ w \}
\sin (t) \Gamma (s) \cdot \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) -1 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
\cos (t) \Gamma (s) \cdot \cos \left( \frac{\pi s}{2} \right) 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
u(t \;-\; 1) \cdot \sin \left( \frac{}{} z \; \ln (t) \right) \frac{z}{s ^ 2  \;+\; z ^ 2} \Re \{ s \} \;<\; - \left| \frac{}{} \Im \{ z \} \right|
u(1 \;-\; t) \cdot \sin \left( \frac{}{} - \; z \; \ln (t) \right) \frac{z}{s ^ 2  \;+\; z ^ 2} \Re \{ s \} \;>\; \left| \frac{}{} \Im \{ z \} \right|
 \left[ u(t) \;-\; u(t \;-\; a) \right] \cdot \ln \left( \frac{a}{t} \right) \frac{a ^ s}{s ^ 2} \Re \{ s \} \;>\; 0
\ln (t \;+\; 1) \frac{\pi}{s \cdot \sin ( \pi s)} -1 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 0
u(b \;-\; t) \cdot \ln (b \;-\; t) - \; \frac{b ^ s}{s} \cdot \left[ \Psi(s \;+\; 1) \;+\; \frac{\ln \gamma}{b} \right] \Re \{ s \} \;>\;  0
\frac{\ln (t \;+\; 1)}{t} \frac{\pi}{(1 \;-\; s) \cdot \sin ( \pi s)} -1 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 0
\ln \left| \frac{1 \;+\; t}{1 \;-\; t} \right| \frac{\pi}{s} \cdot \tan ( \pi s) -1 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
\frac{1}{e ^ t \;-\; 1} \Gamma(s) \cdot \zeta(s) \Re \{ s \} \;>\; 1
\frac{1}{t} \cdot e ^ {-\frac{1}{t}} \Gamma(1 \;-\; s) - \infty \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
e ^ {-x^2} \frac{1}{2} \; \Gamma \left( \frac{s}{2}\right) 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
e ^ {i b t} b^{-s} \cdot \Gamma (s) \cdot e^{\frac{i \pi s}{2}} 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; 1
\delta(t \;-\; a) a^{s - 1} \mathcal{C}
\sum_{n = 1}^{\infty} \delta(t \;-\; an) a^{s - 1} \cdot \zeta(1 \;-\; s) \Re \{ s \} \;<\; 0
t ^ b \delta (b \;+\; s) \empty
onde:

Exemplos de aplicações[editar | editar código-fonte]

Cálculo de transformada direta[editar | editar código-fonte]

Seja a função f(t) = eat, onde a é um número real positivo. Sua transformada será


 F(s) \;=\; \mathcal{M} \{ f(t) \} \;=\; \int_0^{\infty} e^{at} \cdot t^{s - 1} \; dt \;=\; \int_0^{\infty} e^{x} \cdot \left[ \frac{x}{a} \right] ^{s - 1} \cdot \frac{1}{a} \; dx \qquad |\; x \;=\; at


 F(s) \;=\; \frac{1}{a^s} \int_0^{\infty} e^{x} \cdot x^{s - 1} \; dx \;=\; \frac{1}{a^s} \; \Gamma(s)


A faixa de definição S(s) é dada pelo domínio onde a função gama é holomorfa: \Re \{ s \} \;>\; 017 .

Cálculo de transformada inversa[editar | editar código-fonte]

O cálculo da transformada inversa é mais delicado do que o da transformada direta, por dois motivos: primeiro, a escolha do parâmetro c na equação (1b) deve ser adequada, e segundo, porque pode haver mais de uma faixa de definição da transformada, e é desejável tratar todas elas.

Como exemplo, seja F(s) = Γ(s). A faixa de definição S(s) é tal que \Re \{ s \} \;>\; 0. Uma escolha conveniente é c = α, com α > 0. A transformada inversa é dada por inspeção


 f(t) \;=\; \mathcal{M}^{-1} \{ F(s), S(s) \} \;=\; \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{i 2 \pi}\int_{\alpha - i \infty}^{\alpha + i \infty} \Gamma (s) \cdot t^{-s} \; ds \\ \\ \Re \{ s \} \;>\; 0 \;\and\; \alpha \in \mathcal{R} \;|\; \alpha \;>\; 0 \end{matrix} \right\} \;=\; e^{-t} \qquad t \;>\; 0


onde foi usado o resultado do exemplo anterior para a inversão.

Para \Re \{ s \} \;<\; 0, a função gama não é holomorfa. No entanto, como os polos da função são todos isolados e localizados em s = -k, sendo k um número natural positivo, pode-se escolher também c = β, com -(k + 1) < β < -k. Neste caso, o percurso de integração não cruzará nenhum polo. Podemos escrever


 g(t) \;=\; \mathcal{M}^{-1} \{ F(s) , S_2(s) \} \;=\; \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{i 2 \pi}\int_{\beta - i \infty}^{\beta + i \infty} \Gamma (s) \cdot t^{-s} \; ds \\ \\ \Re \{ s \} \;<\; 0 \;\and\; \beta \in \mathcal{R} \;|\; -(k \;+\; 1) \;<\; \beta \;<\; -k \;\and\; k \in \mathcal{N} \end{matrix} \right\}


Essa última integral pode ser calculada por meio do teorema dos resíduos. Para isso, escolhe-se a curva fechada Ω composta pelos segmentos {s = β},{s = i∞},{s = α} e {s = -i∞}. Essa curva delimita todos os polos da função Γ(s) (e, portanto, todos os polos do integrando Γ(s)·t-s) entre 0 e β. O valor da integral de linha, percorrendo-se Ω no sentido positivo (neste caso, o sentido anti-horário), de acordo com o teorema, será:


\int\limits_{\Omega} \Gamma(s) \cdot t^{-s} \; ds \;=\; L(t) \;=\; i 2 \pi \sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{(-1)^j}{j!} \; t^j


Pela expressão, vemos que L é uma função de k também, portanto devemos escrever L(k,t). Como a integral sobre os segmentos horizontais {s = i∞} e {s = -i∞} deve ser nula, podemos escrever


L(k, t) \;=\; i 2 \pi \cdot f(t) \;-\; i 2 \pi \cdot g(t) \qquad \implies g(t) \;=\; f(t) \;-\; \frac{1}{i 2 \pi} \cdot L(k, t) \;=\; e^{-t} \;-\; \sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{(-1)^j}{j!} \; t^j


A função g(t) será diferente para cada valor de k escolhido, mas uma transformada inversa poderá ser obtida para todo o plano complexo18 .

Os dois exemplos acima ilustram duas formas de obter-se a transformada inversa: por inspeção e por integração direta; neste último caso, empregou-se o teorema dos resíduos, o que é bastante comum. Também é usual trabalhar-se com as propriedades da transformada de forma a fazer a função F(s) coincidir com formas bem conhecidas e tabeladas, um método que também se aplica na inversão de outras transformações. A propriedade mais notável da transformada de Mellin é provavelmente aquela expressa por (3i). Segue-se um exemplo de aplicação dessa propriedade.

Seja F(s) = s · Γ(s). Por simplicidade, atenhamo-nos à faixa de definição S(s) tal que \Re \{ s \} \;>\; 0. Podemos escolher uma função G(s) = Γ(s), cuja transformada inversa é conhecida g(t) = e-t. Aplicando a propriedade (3i), temos


\mathcal{M} \left\{ t \cdot \frac{d}{dt} \; g(t) \right\} \;=\; - \; s \cdot G(s) \;=\; - F(s) \qquad \implies f(t) \;=\; - \; t \cdot \frac{d}{dt} \; g(t)


f(t) \;=\; - \; t \cdot \frac{d}{dt} \; e^{-t} \;=\; t \cdot e^{-t}


A propriedade (3e) pode ser usada de forma similar19 .

Finalmente, o método de Marichev baseia-se na reescrita da função a ser invertida F(s) na forma:


F(s) \;=\; A \cdot \prod_{j,k,l,m} \left[ \frac{\Gamma(B_j \;+\; s) \cdot \Gamma(C_k \;-\; s)}{\Gamma(D_l \;+\; s) \cdot \Gamma(E_m \;-\; s)} \right]


onde A, Bn, Cn, Dn e En são constantes complexas, e depois aplicar a fórmula de Slater para o cálculo da transformada inversa. Mais informações podem ser obtidas em Marichev (1982)bib. sup. 1 20 .

Cálculo de série infinita[editar | editar código-fonte]

Seja a série cujos coeficientes bk são dados por

b_k \;=\; \frac{\cos (k \tau)}{k ^ 2} \qquad |\; k \in \mathcal{N}

A expressão (1d), juntamente com as propriedades (3i), pode ser usada para calcular a série


\begin{matrix} L \;=\; f(t) \;=\; \sum_{j \;=\; 1}^{\infty} b_j \;=\; \frac{1}{i 2 \pi} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} B(s) \cdot \zeta(s) \\ \\ B(s) \;=\; \int_0^{\infty} b(t) \; dt \;=\; \int_0^{\infty} \frac{\cos (t \tau)}{t ^ 2} \; dt \end{matrix}


Com auxílio da tabela e das propriedades da transformada, temos


B(s) \;=\; - \tau ^ {2 - s} \cdot \Gamma (s \;-\; 2) \cdot \cos \left( \frac{\pi s}{2} \right) \qquad |\; \Re \{ s\} \in (2,3)


Com o auxílio da propriedade da função zeta


\pi^x \cdot \zeta(1 \;-\; x) \;=\; 2 ^ {1 - x} \cdot \Gamma (x) \cdot \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \cdot \zeta(x)


temos


L \;=\; - \; \frac{1}{i 2 \pi} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} \frac{\tau ^ {2 - s}}{2^{1 - s}} \cdot \pi ^ s \cdot \frac{ \Gamma ( 1 \;-\; s)}{(1 \;-\; s) (2 \;- s)}


A integral pode ser calculada por meio do teorema dos resíduos, lembrando que a função zeta possui apenas um polo em x = 1, com resíduo igual a 1. O resultado será

L \;=\; \frac{\tau ^2}{4} \;-\; \frac{\pi \tau}{2} \;+\; \frac{\pi ^ 2}{6}21 .

Solução da equação diferencial de Laplace[editar | editar código-fonte]

Setor circular (cunha) de abertura θ e raio r.

A solução equação de Laplace bidimensional em uma cunha (setor circular) infinita, sujeita às condições de contorno de Dirichlet, pode ser obtida por meio da transformada de Mellin. Com referência à figura ao lado, sejam usadas as coordenadas polares ρ e φ; a cunha tem centro na origem e tamanho r infinito; portanto, 0 ≤ ρ < ∞ e -½θ ≤ φ ≤ ½θ. O problema pode ser expresso por


\begin{matrix} \nabla ^ 2 v(\rho, \phi) \;=\; 0 \\ \\ v \left( \rho, \frac{\theta}{2} \right) \;=\; v \left( \rho, - \frac{\theta}{2} \right) \;=\; \left\{ \begin{matrix} v_0 & : & \rho \;\le\; r \\ 0 & : & \rho \;>\; r \end{matrix} \right\} \;=\; v_0 \cdot u(r \;-\; \rho) \end{matrix}


onde v0 é uma constante real, u(x) é a função degrau unitário e ∇2 é o operador Laplaciano. Em coordenadas polares, teremos


\nabla ^ 2 v(\rho, \phi) \;=\; 0 \;\implies\; \frac{\partial}{\partial \rho ^2 } \; v \;+\; \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \; v \;+\; \frac{1}{\rho ^2} \frac{\partial}{\partial \phi} \; v \;=\; 0 \;\implies\; \rho ^2 \; \frac{\partial}{\partial \rho ^2 } \; v \;+\; \rho \; \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \; v \;+\; \frac{\partial}{\partial \phi} \; V \;=\; 0


Aplicando a propriedade (3i) e considerando a transformada com relação á variável ρ, temos


\frac{d ^ 2}{d \phi ^ 2} \; V(s, \phi) \;+\; s^2 \cot V(s, \phi) \;=\; 0 \qquad \implies V(s, \phi) \;=\ \psi_1(s) \cdot e^{i s \phi} \;+\; \psi_2(s) \cdot e^{-i s \phi}


Aplicando a transformada de Mellin às condições de contorno, temos


V \left( s, \frac{\theta}{2} \right) \;=\; V \left( s, - \frac{\theta}{2} \right) \;=\; v_0 \cdot \frac{r ^ s}{s} \qquad |\; \Re \{ s \} \;>\; 0


Combinando as duas últimas expressões, obtém-se


\psi_1(s) \;=\; \psi_2(s) \;=\; v_0 \; \frac{r ^ s}{2 s \cdot \cos \left( \frac{s \theta}{2} \right) }


O que leva, após algumas simplificações, a


V(s, \phi) \;=\; v_0 \; \frac{r ^ s \cdot \cos (s \phi)}{s \cdot \cos \left( \frac{s \theta}{2} \right) }


A faixa de definição de V(s, φ) é S(s, φ) tal que 0 \;<\; \Re \{ s \} \;<\; \frac{\pi}{\theta}22 .


Após a inversão, com auxilio da tabela, obtém-se v(ρ, φ).

Solução de equação integral[editar | editar código-fonte]

Uma equação integral de Fredholm do primeiro tipo tem a forma geral


f(x) \;=\; \int_0^{\infty} \phi(x) \cdot k(x,y) \; dx


onde 'f(x) e k(x,y) são conhecidas e φ(x) deve ser encontrada. Se k(x,y) puder ser escrita como k(xy) e escrevermos φ(x) na forma


\phi(x) \;=\; \int_0^{\infty} f(x) \cdot h(xy) \; dx


onde h(xy) é outra função a ser encontrada, então teremos, pela propriedade (3m), que K(s)·H(1 - s) = 1, o que permite encontrar h(xy) pela transformada inversa e daí obter f(x) pela equação acima11 .


Transformada dual de Mellin[editar | editar código-fonte]

Relação com a transformada de Mellin[editar | editar código-fonte]

\bar{F} (\beta) \;=\; F(r \;+\; 1 \;+\; i 2 \pi \beta) \qquad (2c)13

Transformada inversa[editar | editar código-fonte]

\bar{\mathcal{M}}^{-1} \{ \bar{F} (\beta) \} \;=\; f(\nu) \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \bar{F} (\beta) \cdot \nu ^ {-(r + 1 + i 2 \pi \beta)} \; d \beta \qquad (1e)23 13


Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

\int_{0}^{\infty} f(\nu) \cdot g ^ * (\nu) \cdot \nu ^ {2r + 1} \; d \nu \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \bar{F} (\beta) \cdot \bar{G} ^ * (\beta) \; d \beta \qquad (5a)


onde * denota o conjugado complexo23 13 .

Convolução[editar | editar código-fonte]

\mathcal{M} \{ \nu ^ {r + 1} \cdot f(\nu) \cdot g(\nu) \} \;=\; \mathcal{M} \{ f(\nu) \circ g(\nu) \} \;=\; \bar{F} (\beta) \;*\; \bar{G} (\beta) \qquad (5b)

onde * denota uma convolução e a operação \circ é chamada de produto invariante24 13 .

Escalamento[editar | editar código-fonte]

\bar{\mathcal{M}} \{ a^{r + 1} \cdot f(a \nu) \} \;=\; a ^ {i 2 \pi \beta} \cdot \bar{F} (\beta) \qquad |\; a \;>\; 0 \qquad (5c)

Essa forma específica de escalamento é conhecida como dilatação e é denotada pelo operador \mathcal{D}_a, quando se deseja brevidade23 13 .

Multiplicação por potência[editar | editar código-fonte]

\bar{\mathcal{M}} \{ \nu ^ {i 2 \pi b} \cdot f(t) \} \;=\; \bar{F} (\beta \;+\; b) \qquad |\; b \in \mathcal{R} \qquad (5d)13

Diferenciação dual de Mellin[editar | editar código-fonte]

\bar{\mathcal{M}} \left\{ \frac{1}{i 2 \pi} \; \left[ \nu \cdot \frac{d}{d \nu} \;+\; r \;+\; 1 \right] f(t) \right\} \;=\; - \; \beta \cdot \bar{F} (\beta) \qquad (5e)

O operador \left( - \frac{1}{i 2 \pi} \; \left[ \nu \cdot \frac{d}{d \nu} \;+\; r \;+\; 1 \right] \right) é frequentemente denotado como \mathcal{B}23 13 .

Convolução de Mellin[editar | editar código-fonte]

\bar{\mathcal{M}} \{ f(\nu) \;\lor\; g(\nu) \} \;=\; \bar{F} (\beta) \cdot \bar{G} (\beta) \qquad (5f)24

Propriedades da dilatação[editar | editar código-fonte]

A propriedade mais importante da transformada dual de Mellin é aquela expressa por (5c). As dilatações no espaço L2 formam um grupo e possuem as seguintes propriedades:

\begin{matrix} \mathcal{D}_a \{ \mathcal{D}_b \{ f(t) \} \} \;=\; \mathcal{D}_{ab} \{ f(t) \} \\ \\ \mathcal{D}_a^{-1} \{ f(t) \} \;=\; \mathcal{D}_{a^{-1}} \{ f(t) \} \\ \\ \mathcal{D}_I \{ f(t) \} \;=\; f(t) \;=\; \mathcal{D}_1 \{ f(t) \} \end{matrix} \qquad (5g)

Devido à propriedade (5a), pode-se definir um produto interno entre funções


\langle f(\nu),g(\nu) \rangle \;=\; \int_0^{\infty} f(\nu) \cdot g ^ * (\nu) \cdot \nu ^ {2r + 1} \; d \nu \qquad (5h)


que é invariante em relação às dilatações, isto é

\langle f(\nu),g(\nu) \rangle \;=\; \langle  \mathcal{D}_r \{ f(\nu) \} , \mathcal{D}_r \{ g(\nu) \} \rangle \qquad (5i)

O caso especial de (5h) onde g(ν) = f(ν) define a norma

\| f(t) \| \;=\; \sqrt{ \langle f(\nu),f(\nu) \rangle } \qquad (5j)

do espaço de Hilbert onde o operador \bar{\mathcal{M}} é unitário. Tal espaço é similar ao espaço L2, mas possui a métrica padrão

dx \;=\; \nu ^ {2r + 1} \; d \nu \qquad (5k)

e será denotado aqui por L2(IR+2r+1 dν)23 .

O produto invariante também se comporta de maneira similar ao produto interno com relação às dilatações

\mathcal{D} \{ f(\nu) \;\circ\; g(\nu) \} \;=\; \mathcal{D} \{ f(\nu) \} \;\circ\; \mathcal{D} \{ g(\nu) \} \qquad (5l)

Outra propriedade notável se relaciona com a convolução de Mellin

\mathcal{D} \{ f(\nu) \;\lor\; g(\nu) \} \;=\; \mathcal{D} \{ f(\nu) \} \;\lor\; g(\nu) \;=\; f(\nu) \} \;\lor\; \mathcal{D} \{ g(\nu) \} \qquad (5m)24

Propriedades do operador \mathcal{B}[editar | editar código-fonte]

O operador \mathcal{B} que aparece na expressão (5e) é equivalente a


\mathcal{B} \;=\; - \; \frac{1}{i 2 \pi} \left. \left[ \frac{d}{d a} \frac{}{} \mathcal{D}_a \right] \right|_{a = 1} \qquad (5n)


e é um operador auto-adjunto (ou Hermitiano)nota 3 . A operação "inversa" de (5n) permite obter a dilatação\mathcal{D}_a a partir de \mathcal{B} por meio do teorema de Stone


\mathcal{D}_a \;=\; e ^ { - i 2 \pi a \mathcal{B}} \;=\; \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \; \frac{(i 2 \pi a \mathcal{B})^k}{k!} \qquad (5o)


As soluções da equação diferencial

\mathcal{B} \{ f(\nu) \} \;=\; \beta f(\nu) \qquad (5p)

são as autofunções εβ(ν) que constituem uma base ortonormal no espaço L2(IR+2r+1)

\epsilon_{\beta} (\nu) \;=\; \nu ^ {-(r + 1 + i 2 \pi \beta)} \qquad (5q)

Assim, uma interpretação da equação (1c) é que a função f(t) pode ser representada no espaço L2(IR+2r+1) por uma soma infinita de funções εβ(ν), com coeficientes dados por \bar{F}(\beta), que são os autovalores da equação (5p)23 .

Comparação com a transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier possui a propriedade

\mathcal{F} \{ f(t \;-\; b) \} \;=\; e ^ {- i \omega b} \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \}

que é análoga à equação (5o). Ou seja, a transformada dual de Mellin se comporta com relação às dilatações em L2(IR+2r+1) da mesma forma que a transformada de Fourier se comporta com relação às translações no espaço L2: ambas sofrem um deslocamento de fase23 .

Da mesma forma que uma função e sua transformada de Fourier apresentam uma relação de incerteza ou relação de dispersão dada por

\begin{matrix} \sigma_t \cdot \sigma_{\omega} \;\ge\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\mathcal{S} \{ f(t), t \cdot f(t) \} }{\mathcal{S} \{ f(t), f(t) \} } \\ \\ \sigma_x \;=\; \mathcal{S} \{ x \cdot |f(x)|, x \cdot |f(x)| \} \\ \\ \mathcal{S} \{ f(x), g(x) \} \;=\; \int_{x1}^{x2} f(x) \cdot g(x) \; dx \end{matrix} \qquad (5r)nota 4

onde σt e σω são o desvio padrão dos valores de f(t) e de F(ω), respectivamente, no intervalo (-∞,∞), para uma função f(ν) e sua transformada dual de Mellin vale a mesma relação no intervalo [0,∞)25 .

Pente de Dirac[editar | editar código-fonte]

A transformada dual de Mellin do pente de Dirac é dada por


\begin{matrix} \mathcal{F} \{ comb(\nu \;-\; b) \} \;=\; b ^ {r + i 2 \pi \beta} \\ \\ \mathcal{F} \{ \Delta_a^r (\nu) \} \;=\; \sum_{k = -\infty}^{\infty} a ^ {i 2 \pi \beta k} \;=\; \frac{1}{\ln (a)} \; \sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \beta \;-\; \frac{k}{\ln (a)} \right) \;=\; comb \left( \beta \;-\; \frac{1}{\ln (a)} \right) \end{matrix} \qquad (5s)


onde comb(x) é o pente aritmético de Dirac e Δar(x), o pente geométrico.

O pente geométrico de Dirac possui ainda a propriedade notável de ser invariante com relação às dilatações

\mathcal{D} \{ \Delta_a^r (\nu) \} \;=\; \Delta_a^r (\nu) \qquad (5t)26

Interpretação física da variável β[editar | editar código-fonte]

Como visto anteriormente, a transformada de Mellin pode ser considerada a decomposição da função original f(ν) em autofunções da forma

\epsilon_{\beta} (\nu) \;=\; \nu ^ {-(r + 1 + i 2 \pi \beta)}

Essas funções, quando consideradas como filtros aos quais é aplicado um sinal de entrada, apresentam um atraso de grupo τg dado por

\tau_g \;=\; - \frac{1}{2 \pi} \; \frac{d}{d \nu} \; \phi( \nu)

onde a função φ(ν) é a fase do sinal de saída. Podemos reescrever (5q) na forma canônica A·e, onde A é a amplitude do sinal

\epsilon_{\beta} (\nu) \;=\; \nu ^{-(r + 1)} \cdot e ^ {- i 2 \pi \beta \cdot \ln (\nu)} \qquad \implies \phi (\nu) \;=\; - 2 \pi \beta \cdot \ln (\nu)

e o atraso de grupo será

\tau_g \;=\; - \frac{1}{2 \pi} \; \frac{d}{d \nu} \left[ - 2 \pi \beta \cdot \ln (\nu) \right] \;=\; \frac{\beta}{\nu}

A variável β pode então ser interpretada, no domínio da frequência, como a razão entre o atraso de grupo apresentado por um filtro e o período do sinal de entrada27 .


Notas[editar | editar código-fonte]

  1. A transformada de Mellin também pode ser aplicada a distribuições, que são generalizações das funções, bem como a séries convergentes. Neste verbete, o termo "função" se refere tanto a funções comuns quanto a funções generalizadas.
  2. Isso permite seu uso em problemas de tempo discreto, como acontece com outras transformações integrais.
  3. Isto é, \langle \mathcal{B} \{ f(\nu) \},g(\nu) \rangle \;=\; \langle f(\nu),\mathcal{B} \{ g(\nu) \} \rangle.
  4. O operador \mathcal{S} foi introduzido apenas para concisão da notação e não tem nenhum significado especial.


Referências

  1. M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1998, ISBN 3-540-63744-3
  2. R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1989, ISBN 3-540-51238-1
  3. E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3ª edição 1986, ISBN 978-0828403245
  4. D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag : Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1981, ISBN 3-540-10603-0
  5. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 953 a 954
  6. a b J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 971 a 982
  7. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 957 a 958
  8. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 961
  9. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 971
  10. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 956
  11. a b c d e Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 343 a 347
  12. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 959
  13. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 1013 a 1014
  14. a b c d e f J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 964 a 966
  15. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 970
  16. a b c d e f g J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 966 a 968
  17. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 955
  18. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 958 a 959
  19. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 968 a 969
  20. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 969 a 970
  21. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 972 a 973
  22. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 975 a 976
  23. a b c d e f g J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 982 a 987
  24. a b c J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 991 a 993
  25. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 987 a 988
  26. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 989 a 990
  27. J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 1005 a 1006


Bibliografia suplementar[editar | editar código-fonte]

  1. O. Marichev - Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, 1982, Ellis Horwood


Ver também[editar | editar código-fonte]