Transformada fracional de Fourier

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Em matemática a transformada fracional de Fourier (FRFT, do inglês fractional Fourier transform) é uma transformada integral que pode ser considerada uma generalização da transformada de Fourier multidimensional, baseada nas conhecidas propriedades de "rotação" desta última. Em notação de operadores, para maior concisão, pode-se escrever

 \mathcal{F}_n \cdot \mathcal{F}_n \{ f(t) \} \;=\; f(-t) \qquad e \qquad \mathcal{F}_n \cdot \mathcal{F}_n \cdot \mathcal{F}_n \cdot \mathcal{F}_n \{ f(t) \} \;=\; f(t) \qquad (1a)

onde  \mathcal{F}_n denota a transformada de Fourier de dimensão n, onde n é um inteiro. Em duas dimensões, as equações acima possuem uma interpretação geométrica simples: a aplicação da transformada de Fourier (bidimensional) duas vezes consecutivas equivale a uma rotação de 180°. Tal interpretação permite afirmar que a aplicação da transformada de Fourier equivale a uma rotação de 90° e, além disso, permite generalizar a transformação de forma a obter-se uma rotação por um ângulo qualquer.

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é denotada por  \mathcal{F}^a , onde a é um número real. Para a = 1, a FRFT se reduz à transformada de Fourier usual; para valores inteiros maiores que 1, ela equivale à aplicação sucessiva da transformada de Fourier; para a = 0, ela equivale a uma identidade; para a = -1, ela equivale à transformada de Fourier inversa, e assim por diante. A transformada será uma função não apenas da variável ω, mas também de a.

A transformação fracional não é apenas um artifício matemático. Existem situações, em Óptica, por exemplo, em que uma transformação fracional corresponde exatamente ao processo físico (ver exemplo abaixo). Uma propriedade notável da transformação é que a passagem do domínio do tempo ao domínio da frequência deixa de ser abrupta e passa a ser gradual.

A FRFT foi proposta por Victor Namias em 1980, sofreu aperfeiçoamentos durante a década e cresceu em popularidade a partir de 1990. A idéia parece ter ocorrido primeiro a Norbert Wiener, em 1929. Entre as aplicações bem sucedidas até o momento, contam-se a solução da equação de Schroedinger e de outras equações diferenciais de segunda ordem, além de problemas selecionados em Óptica e em Análise de sinais. A transformada fracional de Fourier pode também ser relacionada com a distribuição de Wigner, uma ferramenta importante na análise de sinais não-estacionários[1] [2] [3] .

Uma versão discreta também foi definida, para uso em processamento digital, a transformada fracional discreta de Fourier[3] .


Definições[editar | editar código-fonte]

Transformada unidimensional[editar | editar código-fonte]

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é definida pela equação


\mathcal{F}^a \{ f(t) \} \;=\; F(a, \omega) \;=\; e^{\frac{\pi}{4} (1 - a)} \cdot \csc \left( \frac{a \pi}{2} \right) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e ^ {-i \; \csc \left( \frac{a \pi}{2} \right) \cdot \left[ \omega t \;-\; \frac{t^2 + \omega^2}{2} \cdot \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right] } \; dt \qquad |\; a \in \mathcal{R}, 0 \;\le\; a \;\le\; 1 \qquad (2a)[1] [2] [3] [nota 1]


É possível escrever uma expressão válida para qualquer a, mas é mais simples usar (2a) e aplicar as propriedades da FRFT para obter F(a, ω) para tais valores. Também é possível usar a forma alternativa da transformada, na variável angular α


\mathcal{F}^{\alpha} \{ f(t) \} \;=\; F(\alpha, \omega) \;=\; e^{\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)} \cdot \csc (\alpha) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e ^ {-i \; \csc ( \alpha) \cdot \left[ \omega t \;-\; \frac{t^2 + \omega^2}{2} \cdot \cos (\alpha) \right] } \; dt \qquad |\; \alpha \in \mathcal{R}, 0 \;\le\; \alpha \;\le\; \frac{\pi}{2} \qquad (2b)[2] [3]

A transformada inversa é obtida através das mesmas expressões, com a troca do sinal do parâmetro (a ou α) e a troca das variáveis t e ω uma pela outra (ver exemplo).

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente, mas não necessária, para que uma função f(t) possua transformada fracional de Fourier é que ela e suas derivadas sejam limitadas de acordo com

|t^m \cdot f^n(t)| \;<\; A \qquad |\; n,m \in \mathcal{Z}, \; n,m \;\ge\; 0 \;\and\; A \in \mathcal{R} \qquad (1b)[2]


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Compatibilidade com a transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

 \left. \frac{}{} \mathcal{F}^a \right|_{a = 1} \;=\; \mathcal{F} \qquad \and \qquad  \left. \frac{}{} \mathcal{F}^a \right|_{a = -1} \;=\; \mathcal{F}^{-1} \qquad (3a)[1] [2]

Aditividade[editar | editar código-fonte]

 \mathcal{F}^a \cdot \mathcal{F}^b \;=\; \mathcal{F}^{a + b} \qquad (3b)[1] [2]

Comutatividade[editar | editar código-fonte]

 \mathcal{F}^a \cdot \mathcal{F}^b \;=\; \mathcal{F}^b \cdot \mathcal{F}^a \qquad (3c)[1] [2]

Nulipotência[editar | editar código-fonte]

 \left. \frac{}{} \mathcal{F}^a \right|_{a = 0} \;=\; \mathcal{I} \qquad (3d)[1] [2]

Deslocamento dos eixos[editar | editar código-fonte]

 \mathcal{F}^a \{ f(t \;-\; b) \} \;=\; e ^ {- i b \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \left[ \omega - \frac{b}{2} \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right] } \cdot F \left( a, \omega \;-\; b \cos  \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right) \qquad (3e)[1] [2]
 \mathcal{F}^a \{ e ^ {- i b t} \cdot f(t) \} \;=\; e ^ {- i b \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \left[ \omega - \frac{b}{2} \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right] } \cdot F \left( a, \omega \;-\; b \sin  \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right) \qquad (3f)[2]

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Para n inteiro positivo


 \mathcal{F}^a \left\{ \frac{d^n}{dt^n} \; f(t) \right\} \;=\; \left[i \omega \cdot \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \;+\; \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \cdot \frac{d}{d \omega} \right]^n F(a , \omega) \qquad (3g)[2]


 \mathcal{F}^a \left\{ t^n \cdot f(t) \right\} \;=\; - \left[\omega \cdot \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \;+\; i \; \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \cdot \frac{d}{d \omega} \right]^n F(a , \omega) \qquad (3h)[2]


 \mathcal{F}^a \left\{ x \cdot \frac{d^n}{dt^n} \; f(t) \right\} \;=\; - \left( \left[ \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \;+\; i \omega ^ 2 \cdot \cos \left( \frac{a \pi}{2} \right) \right] \cdot \sin \left( \frac{a \pi}{2} \right) \;+\; \omega \cdot \cos ( a \pi) \cdot \frac{d}{d \omega} \;+\; \frac{i}{2} \sin ( a \pi) \cdot \frac{d^2}{d \omega ^2} \right)^n F(a , \omega) \qquad (3i)[2]


Convolução[editar | editar código-fonte]

 \mathcal{F}^a \{ f(t) \;*^a\; g(t) \} \;=\; e ^ {- i \frac{t^2}{2} \cdot \cot \left( \frac{a \pi}{2} \right) } \cdot F(a, \omega) \cdot G(a, \omega) \qquad (3j)


onde *a denota a convolução fracionária[3] .

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

A difração de uma onda plana por um orifício produz uma imagem relacionada à transformada de Fourier da onda original.

O fenômeno da difração de Fraunhofer propicia uma interpretação direta da transformada fracional de Fourier. Uma onda plana de luz que atravessa um orifício e em seguida é focalizada por uma lente convergente comum produz uma imagem G(ω,η), em um plano situado a uma distância f, onde f é a distância focal da lente, que é a transformada de Fourier (bidimensional) da imagem original g(x,y). Algumas situações que podem ser exploradas são as seguintes:

  • Se um anteparo é colocado a uma distância menor que f, a imagem nele formada será a transformada fracional de Fourier, com a = ½;
  • Se a lente única é substituída por um conjunto de lentes com diferentes distâncias focais, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a ação separada de cada uma delas, um valor diferente de a caracterizando cada lente, e também a do conjunto;
  • Se a lente única for construída com um material cujo índice de refração diminui com a distância, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a onda resultante em cada ponto no interior da mesma, sendo a lente caracterizada por um determinado valor de a[1] [3] .

Exemplos de aplicação[editar | editar código-fonte]

Solução de equação diferencial[editar | editar código-fonte]

A FRFT possui, sobre a transformada de Fourier, a vantagem do parâmetro a ou α adicional, que pode ser escolhido de forma a ajustar a transformação a um dado problema. Seja a equação não-linear de segunda ordem

 \frac{d^2}{dt^2} \; f(t) \;+\; b t^2 \cdot f(t) \;=\; 0

Aplicando a transformada fracional de Fourier na variável α, de acordo com as propriedades (3g) e (3h), teremos


\left[ \left( \left[ \cos^2 (\alpha) \;-\; b \sin^2 (\alpha) \right] \cdot \frac{d^2}{d \omega ^2} \right) F(\alpha, \omega) \right] \;+\; \left[ \left( i [1 \;+\; b] \cdot \omega \cdot \sin (2 \alpha) \cdot \frac{d}{d \omega} \right) F(\alpha, \omega) \right] \;+\;


\left[ \left( \omega^2 \cdot \left[ b \cos ^2 (\alpha) \;-\; \sin ^2 (\alpha) \right] \;-\; i \frac{1 \;+\; b}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \right) \cdot F(\alpha, \omega) \right] \;=\; 0


Escolhendo \alpha \;=\; \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{b}} \right) de forma a eliminar o primeiro termo, teremos b = cot2(α) e, simplificando, teremos


\left( i [1 \;+\; \cot^2 (\alpha)] \cdot \omega \cdot \sin (2 \alpha) \cdot \frac{d}{d \omega} \right) F(b, \omega) \;=\; - \; \left( \omega^2 \cdot \left[ \cot^2 (\alpha) \cos ^2 (\alpha) \;-\; \sin ^2 (\alpha) \right] \;-\; i \frac{1 \;+\; \cot^2 (\alpha)}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \right) \cdot F(b, \omega)


\left( i \csc^2 (\alpha) \cdot \omega \cdot \sin (2 \alpha) \cdot \frac{d}{d \omega} \right) F(b, \omega) \;=\; - \; \left( \omega^2 \cdot \frac{ \cos^4 (\alpha) \;-\; \sin ^4 (\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \;-\; i \frac{\csc^2 (\alpha)}{2} \cdot \sin (2 \alpha) \right) \cdot F(b, \omega)


\left( i 2 \omega \cdot \cot (\alpha) \cdot \frac{d}{d \omega} \right) F(b, \omega) \;=\; - \; \left( \omega^2 \cdot \frac{ \cos^2 (\alpha) \;-\ \sin ^2 (\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \;-\; i \cot (\alpha) \right) \cdot F(b, \omega)


i 2 \sqrt{b} \; \omega \cdot \frac{d F(b, \omega) }{d \omega} \;=\; - \; \left( \omega^2 \cdot [b \;-\ 1] \;-\; i \sqrt{b} \right) \cdot F(b, \omega)


Separando variáveis e integrando, teremos


\frac{d F(b, \omega) }{F(b, \omega)} \;=\; - \; \frac{\omega^2 \cdot [b \;-\ 1] \;-\; i \sqrt{b}}{i 2 \sqrt{b} \; \omega} \; d \omega \;=\; \left[ \frac{i \omega \cdot [b^2 \;-\ 1]}{2 \sqrt{b}} \;+\; \frac{1}{2 \omega} \right] \; d \omega


\ln \left( F(b, \omega) \right) \;=\; \frac{i \omega^2 \cdot [b \;-\ 1] }{4 \sqrt{b} } \;+\; \frac{\ln (\omega)}{2} \;+\; A_1


onde A1 é uma constante. Assim

F(b, \omega) \;=\; A_2 \sqrt{\omega} \cdot e^{\frac{i \omega^2 \cdot [b - 1] }{4 \sqrt{b} }}
F(\alpha, \omega) \;=\; A_2 \sqrt{\omega} \cdot e^{\frac{i \omega^2 \cdot [\cot^2(\alpha) - 1] }{4 \cot (\alpha)}}

onde A2 é uma constante. Aplicando a transformação inversa


f(t) \;=\; \mathcal{F}^{-\alpha} \{ F(\alpha,\omega) \} \;=\; e^{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \right)} \cdot \csc (-\alpha) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} A_2 \sqrt{\omega} \cdot e^{\frac{i \omega^2 \cdot [\cot^2(\alpha) - 1] }{4 \cot (\alpha)}}  \cdot e ^ {-i \; \csc ( -\alpha) \cdot \left[ t \omega - \frac{\omega^2 + t^2}{2} \cdot \cos (-\alpha) \right] } \; d \omega \qquad |\; \alpha \;=\; \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{b}}\right)


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cot(\alpha)}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{\frac{i \omega^2 \cdot \cot (\alpha)}{4} - \frac{i \omega^2 \cdot \tan (\alpha)}{4} + i t \omega \sqrt{\csc^2(\alpha)} - \frac{i \omega^2 \cot(\alpha)}{2}} \; d \omega \qquad |\; \alpha \;=\; \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{b}}\right)


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cot(\alpha)}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 \cdot \cot (\alpha)}{4} - \frac{i \omega^2 \cdot \tan (\alpha)}{4} + i t \omega \sqrt{\cot^2(\alpha) + 1}} \; d \omega \qquad |\; \alpha \;=\; \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{b}}\right)


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 \cdot \sqrt{b}}{4} - \frac{i \omega^2}{4 \sqrt{b}} + i t \omega \sqrt{b + 1}} \; d \omega


onde A3 é uma outra constante. Simplificando, obtém-se


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 \cdot b}{4 \sqrt{b}} - \frac{i \omega^2}{4 \sqrt{b}}} \cdot e^{i t \omega \sqrt{b + 1}} \; d \omega


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 (b + 1)}{4 \sqrt{b}}} \cdot \left[ \cos(t \omega \sqrt{b \;+\; 1}) \;+\; i \sin(t \omega \sqrt{b \;+\; 1}) \right] \; d \omega


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 (b + 1)}{4 \sqrt{b}}} \cdot \cos(t \omega \sqrt{b + 1}) \; d \omega \;+\; i \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 (b \;+\; 1)}{4 \sqrt{b}}} \cdot \sin(t \omega \sqrt{b \;+\; 1}) \; d \omega \right]


Devido ao fato de a função cos(x) ser par e sin(x), ímpar, temos


f(t) \;=\; A_3 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \left[ 2 \int_{0}^{\infty} \sqrt{\omega} \cdot e^{- \frac{i \omega^2 (b + 1)}{4 \sqrt{b}}} \cdot \cos(t \omega \sqrt{b \;+\; 1}) \; d \omega \;+\; 0 \right]


porque as funções x½ e e2 também são pares. Com uma substituição de variáveis


f(t) \;=\; 2 A_4 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \int_{0}^{\infty} w \cdot (b \;+\; 1)^{-\frac{1}{4}} \cdot e^{- \frac{i w^4}{4 \sqrt{b}}} \cdot \cos(t w^2) \cdot (b \;+\; 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 w \; dw \qquad |\; w \;=\; \sqrt{\omega \sqrt{b + 1}}


f(t) \;=\; A_5 e^{- \frac{i t^2 \cdot \sqrt{b}}{2}} \int_{0}^{\infty} w^2 \cdot e^{- \frac{i w^4}{4 \sqrt{b}}} \cdot \cos(t w^2) \; dw

Transformada fracional discreta de Fourier[editar | editar código-fonte]

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Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Como é usual com transformadas integrais, convivem na literatura versões que diferem em algumas convenções (fatores de escalamento, sinais), mas que são equivalentes de um ponto de vista geral.


Referências

  1. a b c d e f g h Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 367 a 370
  2. a b c d e f g h i j k l m A. McBride, F. Kerr - On Namias's Fractional Fourier Transforms in IMA Journal of Applied Mathematics, (1987) n°39, pp. 159 a 175
  3. a b c d e f A. Zayed - Shift-Invariant Spaces in the Fractional Fourier Transform Domain, 2010, disponível em http://www.math.niu.edu/~krishtal/IMAHA07/FinalNIU.pdf, acessado em 07/01/2014


Ver também[editar | editar código-fonte]