Transformada integral

Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

$(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.$

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração $T_1$ e $T_2$. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.

Aplicabilidade

A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.

A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.

Tabela

Tabela de Transformadas integrais

Transformada	Símbolo	Núcleo da transformada	t1	t2
Transformada de Fourier	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada de Mellin	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Laplace bilateral	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada de Laplace	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Hankel	$\mathcal{H}_{1}$	$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Abel	$\mathcal{A}$	$\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$
Transformada de Hilbert	$\mathcal{H}$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada Identidade	$\mathcal{I}$	$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$
Transformada de cosseno	$\mathcal{C}$	$2 cos(ut)\,$	$0\,$	$\infty\,$

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Núcleo da transformada

Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função T'f dada pelo integral de fórmula

$(Tf)(x) = \int_a^b k(x,y)f(y)\, dy$

A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.

Alguns kernels possuem kernels inversos $K^{-1}( u,t )$ onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

$f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.$

Um kernel simétrico é um kernel em que as duas variáveis são permutáveis

Ver também

• Transformada de Legendre
• Anexo:Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier