Transformada integral

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Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformada T da seguinte forma:

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Alguns kernels possuem kernels inversos K^{-1}( u,t ) onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

 f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du

Existem várias transformadas integrais úteis. Cada transformada corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada.

Um kernel simétrico é um kernel em que as duas variáveis são permutáveis

[editar] Tabela

Tabela de Transformadas integrais
Transformada Símbolo Núcleo da transformada t1 t2
Transformada de Fourier

\mathcal{F}

\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}

-\infty\, \infty\,
Transformada de Mellin

\mathcal{M}

t^{u-1}\,

0\, \infty\,
Transformada de Laplace bilateral

\mathcal{B}

e^{-ut}\,

-\infty\, \infty\,
Transformada de Laplace

\mathcal{L}

e^{-ut}\,

0\, \infty\,
Transformada de Hankel

\mathcal{H}_{1}

t\,J_\nu(ut)

0\, \infty\,
Transformada de Abel

\mathcal{A}

\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}

u\, \infty\,
Transformada de Hilbert

\mathcal{H}

\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}

-\infty\, \infty\,
Transformada Identidade

\mathcal{I}

\delta (u-t)\,

t_1<u\, t_2>u\,

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

[editar] Ver também

Transformada de Legendre

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