Transformada integral

Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformada T da seguinte forma:

$(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.$

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Alguns kernels possuem kernels inversos $K^{-1}( u,t )$ onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

$f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du$

Existem várias transformadas integrais úteis. Cada transformada corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada.

Um kernel simétrico é um kernel em que as duas variáveis são permutáveis

Tabela

Tabela de Transformadas integrais

Transformada	Símbolo	Núcleo da transformada	t1	t2
Transformada de Fourier	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada de Mellin	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Laplace bilateral	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada de Laplace	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Hankel	$\mathcal{H}_{1}$	$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
Transformada de Abel	$\mathcal{A}$	$\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$
Transformada de Hilbert	$\mathcal{H}$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Transformada Identidade	$\mathcal{I}$	$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Ver também

Transformada de Legendre