Transformada integral

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Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração T_1 e T_2. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.


Índice

Aplicabilidade [editar]

A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.

A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.

Tabela [editar]

Tabela de Transformadas integrais
Transformada Símbolo Núcleo da transformada t1 t2
Transformada de Fourier

\mathcal{F}

\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}

-\infty\, \infty\,
Transformada de Mellin

\mathcal{M}

t^{u-1}\,

0\, \infty\,
Transformada de Laplace bilateral

\mathcal{B}

e^{-ut}\,

-\infty\, \infty\,
Transformada de Laplace

\mathcal{L}

e^{-ut}\,

0\, \infty\,
Transformada de Hankel

\mathcal{H}_{1}

t\,J_\nu(ut)

0\, \infty\,
Transformada de Abel

\mathcal{A}

\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}

u\, \infty\,
Transformada de Hilbert

\mathcal{H}

\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}

-\infty\, \infty\,
Transformada Identidade

\mathcal{I}

\delta (u-t)\,

t_1<u\, t_2>u\,
Transformada de cosseno

\mathcal{C}

2 cos(ut)\,

0\, \infty\,

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Núcleo da transformada [editar]

Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função T'f dada pelo integral de fórmula

 (Tf)(x) = \int_a^b k(x,y)f(y)\, dy

A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.

Alguns kernels possuem kernels inversos K^{-1}( u,t ) onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

 f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.

Um kernel simétrico é um kernel em que as duas variáveis são permutáveis

Ver também [editar]