Transformada integral

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Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração t_1 e t_2. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.

Aplicabilidade[editar | editar código-fonte]

A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.

A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.

Tabela[editar | editar código-fonte]

Tabela de Transformadas integrais
Transformada Símbolo Núcleo da transformada t1 t2
Transformada de Fourier

\mathcal{F}

\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}

-\infty \infty
Transformada de Mellin

\mathcal{M}

t^{u-1}

0 \infty
Transformada de Laplace bilateral

\mathcal{B}

e^{-ut}

-\infty \infty
Transformada de Laplace

\mathcal{L}

e^{-ut}

0 \infty
Transformada de Hankel

\mathcal{K}

t\,J_{\nu}(ut)

0 \infty
Transformada de Abel

\mathcal{A}

\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}

u \infty
Transformada de Hilbert

\mathcal{H}

\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}

-\infty \infty
Transformada Identidade

\mathcal{I}

\delta (u-t)

t_1<u t_2>u
Transformada de cosseno

\mathcal{C}

2 cos(ut)

0 \infty
Transformada de wavelet

\mathcal{W}

\left[ \frac{1}{\sqrt{s}} \; w \left( \frac{t - u}{s} \right) \right] ^* [nota 1]

-\infty \infty

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Núcleo da transformada[editar | editar código-fonte]

Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função Tf dada pela fórmula

 (Tf)(x) = \int_a^b k(x,y)f(y)\, dy

A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.

Alguns núcleos possuem núcleos inversos K^{-1}( u,t ) onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

 f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.

Um núcleo simétrico é um núcleo em que as duas variáveis são permutáveis. Hankel demonstrou que núcleos simétricos tais que

 g(u) \;=\; (Tf)(t) \;=\; \int_0^{\infty} f(t) \cdot K(u,t) \; dt

e

 f(t) \;=\; (T^{-1}g)(u) \;=\; \int_0^{\infty} g(u) \cdot K(u,t) \; du

podem ser gerados a partir das expressões

 K(u,t) \;=\; (ut)^{\frac{1}{2}} \cdot J_{\nu} (xs)

ou

 K(u,t) \;=\; t \cdot J_{\nu} (xs)

O caso especial ν = 0 leva diretamente à Transformada de Hankel de ordem 0. O caso especial ν = ±½ leva aos núcleos 2cos(2πut) e 2sen(2πut), que estão relacionados à transformada de Hartley[1] .

Em geral, os núcleos são famílias de funções ortogonais, ou ainda, ortonormais.

A Transformada de Karhunen-Loève[editar | editar código-fonte]

As transformadas listadas na tabela acima possuem um núcleo bem definido. Uma transformada integral que não possui essa característica é transformada de Karhunen-Loève (KLT, do inglês Karhunen-Loève transform); neste caso, a base ortogonal usada no núcleo varia com a função a ser transformada. A KLT é importante do ponto de vista teórico porque demonstra-se que ela é ótima sob vários aspectos importantes para o processamento digital de sinais[2] .

História[editar | editar código-fonte]

Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Théorie Analytique des Probabilities, na década de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que é, assim, a transformada mais antiga de todas.

O próximo evento importante foi o tratado de Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur, de 1822. Nesse livro aparece o teorema integral de Fourier, bem como as séries e integrais de Fourier, e suas aplicações. Alguns dos resultados de Fourier já eram conhecidos por Laplace, Cauchy e Poisson.

Décadas depois, Heaviside utilizou a transformada de Laplace com sucesso na solução de equações diferenciais ordinárias e parciais relacionadas à análise de circuitos elétricos. Heaviside lançou mão também da idéia do uso de símbolos operadores, lançada por Leibniz e desenvolvida por depois por Lagrange e Laplace, e unindo essas técnicas, criou o que se conhece hoje como cálculo operacional, em seu artigo On Operational Methods in Physical Mathematics, em duas partes, publicadas em 1892 e 1893, e em seu livro Electromagnetic Theory, de 1899.

Apesar do sucesso na aplicação prática, o trabalho de Heaviside foi muito criticado pelos matemáticos por falta de provas rigorosas que justificassem alguns dos seus métodos heurísticos. Assim, seguiu-se um esforço para fornecer tais provas. Bromwich conseguiu provar alguns teoremas por meio da teoria das funções complexas. Seguiram-se as contribuições de Carson, van der Pol e Doetsch, entre outros.

Outras transformações integrais foram introduzidas por Mellin (a transformada de Mellin, já parcialmente conhecida por Riemann), Hankel (a transformada homônima), Hilbert (a transformada de Hilbert, desenvolvida por Hardy e Titchmarsh), Stieltjes (a transformada homônima), Radon (a transformada homônima) e outros. O estudo das transformadas integrais é intenso atualmente e novas transformações importantes foram descobertas recentemente, como é o caso da transformada de wavelet, enunciada por Morlet em 1982[3] .

Notas e referências[editar | editar código-fonte]

  1. O asterisco (*) denota o conjugado complexo. A função w é chamada wavelet mãe, e é escolhida de acordo com a aplicação em vista.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 13, pp. 339-340,ISBN 978-0-1381-4757-0
  2. P. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pag. 310
  3. L. Debnath, D. Bhatta - Integral Transforms and Their Applications, 2nd. Edition, 2007, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-575-7, Cap. 1, pp. 1 a 6