Triângulo de Pascal

O triângulo de Yang Hui foi publicado na China, em 1303.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais ${\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}}$, onde $n$ representa o número da linha e $k$ representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero. Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como:

	0	1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6
2	1	3	6	10	15
3	1	4	10	20
4	1	5	15
5	1	6
6	1

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por t_mn. Então t_mn = t_m-1,n-1 + t_m-1,n, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são t_{m, −1} = 0, t_{−1, n} para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t₀₀ = 1. Pascal conclui com a prova,

$t_{mn}={\frac {(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}}.\$

Propriedades

Relação de Stifel

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}$

${\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} \\\mathbf {0} &1&&&&&\\\mathbf {1} &1&1&&&&\\\mathbf {2} &1&2&1&&&\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&\\\mathbf {4} &1&4&{\underline {\overline {6}}}&{\underline {\overline {4}}}&1&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1\\\end{matrix}}$

Portanto:

${\begin{matrix}{4 \choose 2}&+&{4 \choose 3}&=&{5 \choose 3}\\&&&&\\6&+&4&=&10\end{matrix}}$

Soma de uma linha

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a $2^{n}$.

${\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} &\mathbf {2^{n}} \\\mathbf {0} &1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf {1} &1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\\mathbf {2} &1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\\mathbf {4} &1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\\mathbf {5} &1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}\end{matrix}}$

Soma de uma coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação ${n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}$.

${\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &1&{\underline {\overline {1}}}&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&{\underline {\overline {3}}}&3&1&&&\\\mathbf {4} &1&{\underline {\overline {4}}}&6&4&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}}$

Portanto:${\begin{matrix}{1 \choose 1}&+&{2 \choose 1}&+&{3 \choose 1}&+&{4 \choose 1}&=&{5 \choose 2}\\&&&&&&&&\\1&+&2&+&3&+&4&=&10\end{matrix}}$

Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}$

Isso deve-se ao fato de que ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}$

Soma de uma diagonal

Conhecendo as fórmulas ${n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}$ (Soma de uma coluna) e ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}$ (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: ${n \choose 0}+{n+1 \choose 1}+...+{n+k \choose k}={n+k+1 \choose k}$.

${\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &{\underline {\overline {1}}}&1&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&3&{\underline {\overline {3}}}&1&&&\\\mathbf {4} &1&4&6&{\underline {\overline {4}}}&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&10&{\underline {\overline {5}}}&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&{\underline {\overline {15}}}&6&1\end{matrix}}$

Novas propriedades – Desigualdades

Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:

1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.${\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}$

2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então:

2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.

Se A = 1 e B = 20, então:

1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.

Algoritmos

Python

Recursivo

def pascal_t(m,n):
    if m == 0 and n ==0:
        return 1
    elif n == -1 or m == -1:
        return 0
    else:
        return pascal_t(m-1, n-1) + pascal_t(m-1,n)

Programado

def pascal_tri(lines):
    t= [[0 for i in range(lines)] for i in range(lines)]
    for n in range(lines):
        for k in range(lines):
            if n == 0 and k == 0:
                t[n][k] = 1
            elif n > -1 and k > -1:
                t[n][k] = t[n-1][k-1] + t[n-1][k]
    return t

Java

public void Pascal(int n) {
    int nfilas = n;
    int[] a = new int[1];
    for (int i = 1; i <= nfilas; i++) {
        int[] x = new int[i];
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (j == 0 || j == (i - 1)) {
                x[j] = 1;
            } else {
                x[j] = a[j] + a[j - 1];
            }
            System.out.print(x[j] + " ");
        }
        a = x;
        System.out.println();
    }
}

Referências

• Kadane, J.B. (2011). Principles of Uncertainty (em inglês). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9781439861615 

Ver também

• Blaise Pascal
• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal