Triângulo esférico

Um triângulo esférico

Um triângulo esférico é a união de três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes das dos triângulos planos e o seu conhecimento é essencial em navegação astronômica, mecânica de precisão e óptica. A parte da matemática que estuda as relações entre seus elementos é a trigonometria esférica.

Propriedades

Seja [ABC] um triângulo esférico e a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e C.

Ângulos

A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que 180º e menor do que 540º, isto é, $180^\circ<A+B+C<540^\circ$. Mais precisamente

$A+B+C=\pi+\frac{\mbox{Area}_{[ABC]}}{R^2}$ (em radianos)

Assim, a soma dos ângulos é tanto mais próxima de 180º quanto menor for a razão entre a área do triângulo e a área da esfera. Deste modo, um triângulo pequeno desenhado na superfície terrestre aparenta ser plano (uma das razões pela qual durante muito tempo se julgou que a Terra era plana).

Teorema de Pitágoras

Se C = 90º, tem-se

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)\,\!$

Teorema dos senos

$\frac{\mbox{sen}(a)}{\mbox{sen}(A)}=\frac{\mbox{sen}(b)}{\mbox{sen}(B)}=\frac{\mbox{sen}(c)}{\mbox{sen}(C)}$

Teorema dos co-senos

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\mbox{sen}(a)\mbox{sen}(b)\cos(C)\,\!$

ou a versão dual

$\cos(C)=-\cos(A)\cos(B)+\mbox{sen}(A)\mbox{sen}(B)\cos(c)\,\!$