Tricotomia (matemática)

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En matemática, tricotomia é a propriedade de uma relação de ordem que, para quaisquer x e y, exatamente um dos seguintes ocorre: x<y, x=y, ou x>y. Este axioma da tricotomia é válido para comparações ordinárias de números reais e, por conseguinte, seus subconjuntos, tais como os inteiros e racionais.

A lei da tricotomia foi por longo tempo assumida verdadeira sem prova; foi provada no final do século 19. [1]

Se aplicado a números cardinais, a lei da tricotomia é equivalente ao axioma da escolha.

Mais genericamente, a relação binária R em X é tricotômica se para todo x e y em X ocorre exatamente uma das seguintes: xRy, yRx ou x = y. Se essa relação é também transitiva é uma ordem estrita total; este é um caso especial de uma ordem estrita fraca. Por exemplo, no caso dos três elementos da relação R dada por aRb, aRc, bRc é uma ordem estrita total, enquanto que a relação R dada pelo cíclico aRb, bRc, cRa é uma relação não-transitiva tricotômica.

Na definição de um domínio ordenado integral ou corpo ordenado, a lei da tricotomia é geralmente considerada como mais fundamental do que a lei de ordem total, com y= 0, onde 0 é o zero do domínio integral ou campo.

Relações tricotômicas não podem ser totais ou reflexivas, uma vez que xRx deve ser falso. Elas são trivialmente antisimétricas e, portanto, assimétricos, pois xRy e yRx é sempre falso.

Referências

  1. p148 Simon Singh Fermat's Last Theorem