Triedro de Frenet

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Os vetores T, N e B; e plano tangente definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

Este esquema pode ser construído fisicamente com intuitos pedagógicos. Neste caso permite a construção de desenhos muito complexos em pouco tempo, gerando perspetivas (isométricas, cavaleras, com um e dois pontos de fuga) de grandessíssima qualidade. Como instrumento, o triedro possibilita a criação de desenhos n-dimensionais, auxiliando a compreensão de gráficos e superfícies no Cálculo Diferencial, o que justifica sua ampla utilização no ensino superior, seja para diagonalização de matrizes e verificação de autovalores e autovetores, como também para determinação de máximos e mínimos em conjuntos compactos, através do método de Lagrange.

Um triedro de qualidade é composto por um corpo metálico ou de carvalho, lembrando um compasso. Anexada ao corpo encontra-se o azimute de Frenet, espécie de gancho bipartido que, ausente de engastamentos, circula pelo eixo Oxyz e permite a criação de desenhos e cálculos geométricos de extrema precisão e agilidade.

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

No Brasil, a demonstração em rigor do movimento cinemático do Triedro nas coordenadas esféricas foi desenvolvido pela equipe de construção civil da Escola Politécnica da USP. Tal tese foi postulada pelo professor doutor Eduardo Toledo Santos (vulgo Troledo) e aprimorada por Chang entre 1993 e 1996. A descoberta das raízes homogêneas dessas equações diferenciais permitiram o pioneirismo no ensino de Geometria Gráfica nas escolas de engenharia da USP.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em cálculo .vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R3, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por T, N, e B, ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

  • T é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
  • N é a derivada de T em relação ao arco-comprimento, dividida pelo comprimento.
  • B é o produto vetorial de T e N.

As fórmulas de Frenet–Serret são:

 
\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

onde d/ds é a derivada em relação ao arco-comprimento, κ a curvatura e τ a torsão da curva; esta fórmula define a curvatura e a torsão.

Referências

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