Trissecção do ângulo

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Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.

O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.

Aproximação geométrica[editar | editar código-fonte]

Trissecção aproximada

Considerando ∠AOB = 2a e ∠HOG = 2x, verifica-se que no triângulo ΔOCF temos que o ângulo ∠OCF = ½(a + x) pois é um ângulo inscrito na circunferência que compreende um arco de medida a + x, e também temos que ∠CFO = ½(a − x) pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ângulo oposto ao ângulo ∠EOB = a pelo vértice, que por outro lado, ele é ângulo externo ao triângulo ΔOCF não adjacente aos ângulos ∠OCF = ½(a + x) e ∠CFO, então:

C\hat FO=a-\frac{a+x}2=\frac{a-x}2

Utilizando a lei dos senos e cossenos no triângulo ΔOCF e considerando os lados OF e OC que medem respectivamente 2.r e r, onde r é o raio da circunferência construída temos:

\frac{2.r}{\operatorname{sen}\frac{a+x}2}=\frac r{\operatorname{sen}\frac{a-x}2} \Longleftrightarrow \frac{\operatorname{sen}\frac{a-x}2}{\operatorname{sen}\frac{a+x}2}=\frac12\cdot

Com a segunda igualdade chegamos a:

\frac{(\operatorname{sen}\,a/2).(\cos x/2) - (\operatorname{sen}\,x/2).(\cos a/2)}{(\operatorname{sen}\,a/2).(\cos x/2) + (\operatorname{sen}\,x/2).(\cos a/2)} = \frac{1}{2}

Dividindo o numerador e o denominador do primeiro membro da expressão anterior, temos: \frac{(\tan a/2) - (\tan x/2)}{(\tan a/2) + (\tan x/2)} = \frac{1}{2}.

Com isso mostra-se que \tan\frac{x}{2} = \frac{1}{3}\tan\frac{a}{2}. Conclui-se então que x é aproximadamente \frac{a}{3}.

Solução algébrica[editar | editar código-fonte]

Seja \cos(\theta)\, um número construtível. Então o ângulo \theta\, pode ser trissecado com régua e compasso se a equação polinomial p(t) = 4 \ t^3 \ - \ 3 \ t - \cos(\theta) = 0\, tiver uma solução construtível.
Por exemplo, o ângulo \pi / 3\, (60 graus) não é construtível, porque o polinômio 2 \ p(t) = 8 \ t^3 \ - \ 6 \ t - 1\, é irredutível (se não fosse, ele teria uma raiz racional da forma p/q \, com p = 1 \, ou -1\, e q = 1, 2, 4 \, ou 8 \,; é fácil verificar que nenhum destes número é raiz de p(t) \,.[1]
A irreducibilidade de p(t)\, mostra que as suas raízes são de grau 3, portanto não são construtíveis.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Boyer, Carl B. (1996). História da matemática. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 85-212-0023-4.
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