Ultrafiltro

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Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Definições[editar | editar código-fonte]

Em teoria de conjuntos, seja  A^{\,} um conjunto não vazio e  \mathcal{P}\left(A^{\,}\right) o conjunto de partes de  A^{\,} . Um ultrafiltro  F \subseteq A tem as seguintes propriedades[1] :

Diagrama de Hasse do ultrafiltro principal gerado por {x}
 \mathbf{1.} \mbox{ Se } x \in F \mbox{ e } x \subseteq y \mbox{, então } y \in F \mbox{ para } x, y \in \mathcal{P}\left(A^{\,}\right)
 \mathbf{2.} \mbox{ Se } x, y \in F \mbox{, então } x \cap y \in F

Ou seja,  F é um filtro. Além disso,  F é próprio:

 \mathbf{3.}  \;\; F \ne \mathcal{P}\left(A^{\,}\right)

Ou, equivalentemente:

 \mathbf{3^{*}.}  \;\; \varnothing \not \in F

Por último,  F é maximal:

 \mathbf{4.}  \mbox{ Não existe filtro próprio } G \mbox{ tal que } F \subseteq G  \mbox{ e }  F \ne G

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado  \left\langle L, \le \right\rangle um ultrafiltro F^{\,} é um conjunto não vazio, estritamente contido em  L^{\,} , definido por[2] :

 \mathbf{1.} \mbox{ Se } x \in F \mbox{ e } x \le y \mbox{, então } y \in F \mbox{, para } x, y \in L^{\,}
 \mathbf{2.} \mbox{ Se } x, y \in F \mbox{, então } x \wedge y \in F \mbox{, para } x, y \in L^{\,}
 \mathbf{3.}  \mbox{ Não existe filtro próprio } G \mbox{ tal que } F \subseteq G  \mbox{ e }  F \ne G

Numa álgebra de Boole com máximo 1\!\mbox{I} e mínimo  \mathbb{O}, às condições anteriores são acrescentadas:

 \mathbf{4.} \;\; \mathbb{O} \not \in F \mbox{ (é filtro próprio)}
 \mathbf{5.} \;\; 1\!\mbox{I} \in F \mbox{ (é não vazio)}

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Ultrafiltros em álgebras de Boole[editar | editar código-fonte]

Em uma álgebra de Boole  \left\langle B, \wedge, \vee, -, \mathbb{O}, 1\!\,\!\mbox{I} \right\rangle um filtro F^{\,} e denominado primo se satisfaz[3] :

  • \mbox{ Se } x \vee y \in F \mbox{, então } x \in F \mbox{ ou } y \in F \mbox{, para } x, y \in B^{\,}

Como  1\!\mbox{I} \in F pela condição 5, para cada x \in B^{\,} temos que  x \vee -x \in F , de modo que a condição acima é equivalente a:

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro F^{\,} é primo se e somente se F^{\,} é um ultrafiltro[5] , ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo[6] .

Teorema do ultrafiltro[editar | editar código-fonte]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro"[7] , que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole  \left\langle B, \wedge, \vee, -, \mathbb{O}, 1\!\,\!\mbox{I} \right\rangle e um filtro  \;\; F \subseteq B, existe um ultrafiltro  \;\; U \! \subseteq B tal que  F \subseteq U. Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo"[8] . Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

\mathit{ZF+TU} \nvdash \mathit{AE}, \mbox{ se } \mathit{ZF} \mbox{ é consistente}[9]

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Referências

  1. DRAKE (1974), p. 64 e COMFORT NEGREPONTIS (1974), p. 143.
  2. MONK (2004), p. 14. Ver também BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 142−143 e 148.
  3. POGORZELSKI WOJTYLAK (2008), p. 12.
  4. Essa propriedade pode ser usada para uma definição alternativa de ultrafiltro, como em KOPPELBERG (1989), p. 32.
  5. MONK (2004), p. 14, e BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 148−149.
  6. Por exemplo: LEVY (2002), p. 253.
  7. DRAKE (1974), p. 64.
  8. LEVY (2002), p. 256.
  9. HALPERN LEVY (1971).

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H.P. A course in universal algebra (em inglês). New York: Springer, 1981.
  • COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S. The theory of ultrafilters (em inglês). New York: Springer, 1974.
  • DRAKE, Frank R. Set theory: An introduction to large cardinals (em inglês). Amsterdam: North-Holland, 1974.
  • HALPERN, J.D.; LEVY, A. (1971). "The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice". Proceedings of the Symposium in Pure Mathenatics 1967. Volume XIII. Part I: 83−134 pp..
  • KOPPELBERG, Sabine. General Theory of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland, 1989.. Volume I de MONK BONNET (1989).
  • LAWSON, M.V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries (em inglês). [S.l.]: World Scientific, 1998. ISBN 9789810233167
  • LEVY, Azriel. Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover, 2002.
  • MONK, J. Donald; BONNET, Robert. Handbook of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland, 1989,.
  • POGORZELSKI, W.; WOJTYLAK, P. Completeness theory for propositional logics (em inglês). Basel: Birkhäuser, 2008.
  • SIKORSKI, Roman. Boolean Algebras (em inglês). Heildelberg: Springer Verlag, 1969.
  • STANLEY, R.P. Enumerative combinatorics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 9780521663519

Veja também[editar | editar código-fonte]

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