Ultrafiltro

Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Definições

Em teoria de conjuntos, seja $A^{\,}$ um conjunto não vazio e ${\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)$ o conjunto de partes de $A^{\,}$. Um ultrafiltro $F\subseteq A$ tem as seguintes propriedades:

Diagrama de Hasse do ultrafiltro principal gerado por {x}

$\mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in F{\mbox{ e }}x\subseteq y{\mbox{, então }}y\in F{\mbox{ para }}x,y\in {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)$

$\mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in F{\mbox{, então }}x\cap y\in F$

Ou seja, $F$ é um filtro. Além disso, $F$ é próprio:

$\mathbf {3.} \;\;F\neq {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)$

Ou, equivalentemente:

$\mathbf {3^{*}.} \;\;\varnothing \not \in F$

Por último, $F$ é maximal:

$\mathbf {4.} {\mbox{ Não existe filtro próprio }}G{\mbox{ tal que }}F\subseteq G{\mbox{ e }}F\neq G$

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado $\left\langle L,\leq \right\rangle$ um ultrafiltro $F^{\,}$ é um conjunto não vazio, estritamente contido em $L^{\,}$, definido por:

$\mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in F{\mbox{ e }}x\leq y{\mbox{, então }}y\in F{\mbox{, para }}x,y\in L^{\,}$

$\mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in F{\mbox{, então }}x\wedge y\in F{\mbox{, para }}x,y\in L^{\,}$

$\mathbf {3.} {\mbox{ Não existe filtro próprio }}G{\mbox{ tal que }}F\subseteq G{\mbox{ e }}F\neq G$

Numa álgebra de Boole com máximo $1\!{\mbox{I}}$ e mínimo $\mathbb {O}$, às condições anteriores são acrescentadas:

$\mathbf {4.} \;\;\mathbb {O} \not \in F{\mbox{ (é filtro próprio)}}$

$\mathbf {5.} \;\;1\!{\mbox{I}}\in F{\mbox{ (é não vazio)}}$

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Ultrafiltros em álgebras de Boole

Em uma álgebra de Boole $\left\langle B,\wedge ,\vee ,-,\mathbb {O} ,1\!\,\!{\mbox{I}}\right\rangle$ um filtro $F^{\,}$ e denominado primo se satisfaz:

• ${\mbox{ Se }}x\vee y\in F{\mbox{, então }}x\in F{\mbox{ ou }}y\in F{\mbox{, para }}x,y\in B^{\,}$

Como $1\!{\mbox{I}}\in F$ pela condição 5, para cada $x\in B^{\,}$ temos que $x\vee -x\in F$, de modo que a condição acima é equivalente a:

• $x\in F{\mbox{ ou }}-x\in F{\mbox{, para }}x\in B^{\,}$

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro $F^{\,}$ é primo se e somente se $F^{\,}$ é um ultrafiltro, ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo.

Teorema do ultrafiltro

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro", que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole $\left\langle B,\wedge ,\vee ,-,\mathbb {O} ,1\!\,\!{\mbox{I}}\right\rangle$ e um filtro $\;\;F\subseteq B$, existe um ultrafiltro $\;\;U\!\subseteq B$ tal que $F\subseteq U$. Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo". Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

${\mathit {ZF+TU}}\nvdash {\mathit {AE}},{\mbox{ se }}{\mathit {ZF}}{\mbox{ é consistente}}$

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Bibliografia

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• HALPERN, J.D.; LEVY, A (1971). «The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice». Proceedings of the Symposium in Pure Mathenatics 1967. Volume XIII. Part I: 83−134 

• KOPPELBERG, Sabine (1989). General Theory of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland . Volume I de MONK BONNET (1989).

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• STANLEY, R.P (2002). Enumerative combinatorics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521663519 

Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)