União (matemática)

Indicação da união entre os conjuntos A e B

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. É representada pelo símbolo $\cup$.

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por $\cap$ a interseção de conjuntos, tem-se

$|A\cup B|+|A \cap B|=|A|+|B|$,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

$|A\cup B| = |A|+|B|- |A \cap B|$,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se $A \cup B\,$ por:

$A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}\,$

Por exemplo:

1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então $A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}\,$
2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então $A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}\,$. Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

$\forall A \forall B \exists F (A \in F \land B \in F)$ (Axioma do par)

$\forall F \exists C \forall y \forall x (x \in y \land y \in F \rightarrow x \in C)$ (Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

$\forall A \forall B \exists C \forall x ((x \in A \lor x \in B) \rightarrow x \in C)$

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula $\Phi = (x \in A \lor x \in B)\,$ para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

$\forall A \forall B \exists D \forall x (x \in D \iff ( x \in A \lor x \in B) )$

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

$\forall A \forall B \exists ! (A \cup B) \forall x (x \in (A \cup B) \iff (x \in A \lor x \in B))$

Exemplo

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A $\cap$ B = {1,9}