União (matemática)

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Indicação da união entre os conjuntos A e B

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. É representada pelo símbolo \cup.

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por \cap a interseção de conjuntos, tem-se

|A\cup B|+|A \cap B|=|A|+|B|,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

|A\cup B| = |A|+|B|- |A \cap B|,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição[editar | editar código-fonte]

Pela teoria básica de conjuntos, define-se A \cup B\, por:[1]

A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}\,

Por exemplo:

  1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}\,
  2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}\,. Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

\forall A \forall B \exists F (A \in F \land B \in F) (Axioma do par)
\forall F \exists C \forall y \forall x (x \in y \land y \in F \rightarrow x \in C) (Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

\forall A \forall B \exists C \forall x ((x \in A \lor x \in B) \rightarrow x \in C)

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula \Phi = (x \in A \lor x \in B)\, para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

\forall A \forall B \exists D \forall x (x \in D \iff ( x \in A \lor x \in B) )

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

\forall A \forall B \exists ! (A \cup B) \forall x (x \in (A \cup B) \iff (x \in A \lor x \in B))

Exemplo[editar | editar código-fonte]

1 Considerado alunos e as Provas de natação

Referências

  1. Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]