Universo construível

Em matemática, o Universo construível (ou Universo construível de Gödel ou Hierarquia construível), denotado por L, é uma classe de conjuntos definida por recursão transfinita. na qual, a diferença do Universo de von Neumann, o sucessor de uma classe não toma todos os subconjuntos, mas somente aquelas que são definíveis, num sentido específico desse termo .

Definição de L

L é definido numa hierarquia de níveis que são função dos ordinais, de maneira análoga ao Universo de von Neumann. A única diferença é que no passo sucessor, em lugar de tomar todos os subconjuntos, toma somente os "definíveis". Mas especificamente, dado um conjunto x e um subconjunto y de x, y⊆x, diz-se que y é x-definível, denotado por Def(x), se e somente se existe uma fórmula de primeira ordem φ satisfeita por todos e somente por os elementos de y em x (considerado como universo da interpretação) . Dessa maneira, Def(x) ⊆ P(x).

• O primeiro nível é o conjunto vazio:

$L_0 := \emptyset \!$.

• Para $\alpha$ um número ordinal:

$L_{\alpha+1} := De\!f(L_{\alpha}) \!$

• Para $\beta$ um limite ordinal:

$L_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} L_{\alpha} \!$.

• Finalmente, sendo L a união de todos os L_α:

$\bold \mathsf L := \bigcup_{\alpha \in \bold On} L_{\alpha} \!$.

O uso do símbolo de união na última linha constitui, como na definição de $\bold \mathsf V$, um abuso da linguagem, de modo que $x \in \bold \mathsf L$ deve ser interpretado como "existe um ordinal $\alpha$ tal que $x \in L_\alpha$".

O Axioma de construtibilidade

Ver artigo principal: Axioma de construtibilidade

O enunciado "todo conjunto é construível", abreviado $\bold \mathsf V = \bold \mathsf L$ é verdadeiro no Universo Construível. Esse axioma, somado aos habituas de Zermelo-Fraenkel, implica o Axioma da escolha, hipótese do continuo generalizada, a negação da hipótese de Suslin e a existência de um conjunto de números reais $\Delta^1_2$ não mensurável.