Universo construível

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Em matemática, o Universo construível (ou Universo construível de Gödel ou Hierarquia construível), denotado por L, é uma classe de conjuntos definida por recursão transfinita. na qual, a diferença do Universo de von Neumann, o sucessor de uma classe não toma todos os subconjuntos, mas somente aquelas que são definíveis, num sentido específico desse termo[1] .

Definição de L[editar | editar código-fonte]

L é definido numa hierarquia de níveis que são função dos ordinais, de maneira análoga ao Universo de von Neumann. A única diferença é que no passo sucessor, em lugar de tomar todos os subconjuntos, toma somente os "definíveis". Mas especificamente, dado um conjunto x e um subconjunto y de x, yx, diz-se que y é x-definível, denotado por Def(x), se e somente se existe uma fórmula de primeira ordem φ satisfeita por todos e somente por os elementos de y em x (considerado como universo da interpretação)[2] . Dessa maneira, Def(x)P(x).

  • O primeiro nível é o conjunto vazio:
 L_0 := \emptyset.
 L_{\alpha+1} := De\!f(L_{\alpha})
 L_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} L_{\alpha}.
  • Finalmente, sendo L a união de todos os Lα:
 \bold \mathsf L := \bigcup_{\alpha \in \bold On} L_{\alpha}.


O uso do símbolo de união na última linha constitui, como na definição de \bold \mathsf V , um abuso da linguagem, de modo que  x \in \bold \mathsf L deve ser interpretado como "existe um ordinal \alpha tal que  x \in  L_\alpha ".

O Axioma de construtibilidade[editar | editar código-fonte]

O enunciado "todo conjunto é construível", abreviado \bold \mathsf V = \bold \mathsf L é verdadeiro no Universo Construível. Esse axioma, somado aos habituas de Zermelo-Fraenkel, implica o Axioma da escolha, hipótese do continuo generalizada, a negação da hipótese de Suslin e a existência de um conjunto de números reais \Delta^1_2 não mensurável.

Referências

  1. Ver Devlin, Keith J.. Constructibility. Berlin: Springer, 1984. 57−58 p.
  2. Devlin, op. cit., p. 57.