Universo de von Neumann

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V [editar]

V é definida por recursão transfinita.

O primeiro nível é o conjunto vazio:

$V_0 := \emptyset \!$ .

Para um ordinal α, sendo $\mathcal{P}(x)$ o conjunto das partes de $x$ :

$V_{\alpha+1} := \mathcal{P}(V_{\alpha}) \!$

Para um ordinal limite β:

$V_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} V_{\alpha} \!$ .

É importante ressaltar que existe uma fórmula $\phi(x,\alpha)$ da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa " $x \in V_\alpha$ ".

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

Para β um ordinal:

$V_\beta := \bigcup_{\alpha < \beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right) \!$ .

Finalmente, sendo V a união de todos os V_α:

$\bold \mathsf V := \bigcup_{\alpha \in \bold On} V_{\alpha} \!$ .

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que $x \in \bold \mathsf V$ deve ser interpretado como "existe um ordinal $\alpha$ tal que $x \in V_\alpha$ ".

Note-se que para cada ordinal α, V_α é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

$\mbox{Se } \alpha < \beta \mbox{ então } V_{\alpha} \in V_{\beta} \mbox{ e } V_{\alpha} \subseteq V_{\beta} \!$

V e Zermelo-Fraenkel [editar]

Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado $\forall x \left(x \in \bold\mathsf V \right)$ é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como $x=\left\{ x \right\}$ . não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF⁻, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF⁻ axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.

Sendo $\omega$ o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, $V_\omega$ é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. $V_\omega$ é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em $V_\omega$ temos todos os números naturais, mas não $\omega$ . Os conjuntos em $V_{\omega+\omega}$ são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". $V_{\omega+\omega}$ é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de $V_{\omega+\omega}$ precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se $\kappa$ é um cardinal inacessível, então $V_\kappa$ é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.