Usuário(a):BrunaBap/Testes

Na matemática, a diferenciação numérica é a técnica de obter valores aproximados para a derivada de uma função usando valores da função em um conjunto de pontos e propriedades conhecidas da função. O método mais simples de se aproximar a derivada de uma função real $f\,$ em um certo ponto $x\,$ consiste em aproximar a declividade da reta tangente pela declividade de alguma reta secante próxima ao ponto $x\,$.

Aproximações cade vez mais acuradas podem ser obtidas pela convolução de filtros com coeficientes de diferenças finitas que consideram cada vez mais pontos em torno do ponto em que se calcula a derivada numericamente.

Exemplos

• $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\xi _{1}(x,h)\,$

• $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+\xi _{2}(x,h)\,$

Neste caso, as funções $\xi _{1}(x,h)\,$ e $\xi _{2}(x,h)\,$ expressam o chamado erro de truncamento. É imediato da definição de derivada de um função real que:

• $\lim _{h\to 0}\xi _{1}(x,h)=0\quad {\hbox{e}}\quad \lim _{h\to 0}\xi _{2}(x,h)\,$

Contanto que a função $f\,$ seja diferenciável no ponto $x\,$ e, portanto, espera-se que esses métodos produzam boas aproximações quando h é pequeno.

Erro de truncamento

Para a primeira aproximação, é bastante simples encontrar um cota para o erro $\xi _{1}(x,h)\,$ supondo $f\,$ uma função de classe C², usando o teorema de Taylor (sem perda de generalidade, suponhe-se $h>0\,$):

• $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(\zeta ),~~\zeta \in (x,x+h)\,$

logo:

• ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )\,$

e, portanto vale a estimativa:

• $\left|\xi (x,h)\right|\leq {\frac {h}{2}}\max _{x\in [x,x+h]}|f''(x)|\,$

Erro de arredondamento e erro mínimo

Quando estes esquemas numéricos são implementados em algoritmos com precisão finita, existe uma segunda fonte de erro devido ao arredondamento do algoritmo. Para fins de uma análise simplificada, considera-se que todo o erro de arredondamento se concentra na avaliaçao do valor da função $f\,$ e que sua ordem de grandeza não depende de $h\,$. Denotando-o por $\epsilon$, temos:

• ${\frac {f(x+h)-f(x)+\epsilon }{h}}=f'(x)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )\,$

ou seja:

• ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )-{\frac {\epsilon }{h}}\,$

Neste caso, o erro total é dado por:

• $\left|\xi _{total}(x,h)\right|\leq {\frac {h}{2}}\max _{x\in [x,x+h]}|f''(x)|+{\frac {\epsilon }{h}}\,$

Observe que o termo relativo ao erro de truncamente diminui quando $h\,$ diminui mas o termo relativo ao erro de arredonadamento cresce quando $h\,$ diminui. Esta estimativa é minima quando:

• $h={\sqrt {\frac {2\epsilon }{\max _{x\in [x,x+h]}|f''(x)|}}}\,$

o que implica o seguinte erro mínimo para o esquema:

• ${\sqrt {2\epsilon \max _{x\in [x,x+h]}|f''(x)|}}\,$

Derivada numérica em funções discretizadas

Quando o resultado de uma função está discretizado em pares ordenados (x,y) e não se conhece a expressão para y = f(x), então a derivação numérica mais simples é dada por: (y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]) onde (x[1],y[1]), (x[2],y[2]), ... , (x[n],y[n]) são os n pontos resultantes da discretização. Outras formas mais acuradas de se obter a mesma derivada, mas utilizando mais pontos vizinhos ao ponto de interesse, podem ser construídas com os coeficientes de diferenças finitas.