Teorema da decomposição de Helmholtz

No cálculo vetorial, o teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da física e da matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. Seu nome é dado em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia.

Enunciado

Seja um campo vetorial $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ e definamos $\nabla \times \mathbf {F} \equiv \mathbf {C} (\mathbf {r} )$ e $\nabla \cdot \mathbf {F} \equiv D(\mathbf {r} )$.

Se as seguintes condições são satisfeitas:

$\left(1\right)\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=\mathbf {0}$ e $\lim _{r\to \infty }{\frac {D(\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=0,$

$\left(2\right)\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{1/r}}=\mathbf {0} ,$

então $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ existe e é definido unicamente por

$\left(3\right)\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} ,$

com

$\left(4\right)U(\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)\ \$  e $\ \ \mathbf {W} (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right),$

onde ${d}\tau '$ é um elemento infinitesimal de volume e $\mathbf {r}$ e $\mathbf {r'}$ são vetores genéricos no espaço tridimensional.

Demonstração

Sejam $U(\mathbf {r} )$, $\mathbf {W} (\mathbf {r} )$, $D(\mathbf {r} )$ e $\mathbf {C} (\mathbf {r} )$ as funções definidas acima. Nosso primeiro objetivo é mostrar que é possível escrever $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W}$, e que se escrito assim, de fato $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )$ e $\nabla \cdot \mathbf {F} =D(\mathbf {r} )$. Em seguida, vamos mostrar que sob as condições $\left(1\right)$ e $\left(2\right)$, $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ é único para determinados $D(\mathbf {r} )$ e $\mathbf {C} (\mathbf {r} )$.

Existência de U(r) e W(r)

A primeira questão é se $U(\mathbf {r} )$ e $\mathbf {W} (\mathbf {r} )$ são bem definidos, i.e., se as integrais de $\left(4\right)$ convergem. Temos, para $r'/r>>1$:

$\int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\simeq \int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{r'}}r'^{2}{d}r'=\int D(\mathbf {r'} )r'{d}r'.$

Essa integral converge se, e somente se, $D(\mathbf {r'} )$ cair a zero no infinito mais rápido que $1/r'^{2}$. Essa condição é garantida por $\left(1\right)$. O mesmo argumento se aplica à integral de $\mathbf {W} (\mathbf {r} )$. Logo, $U(\mathbf {r} )$ e $\mathbf {W} (\mathbf {r} )$ existem.

Divergência de F(r)

Usando o fato de que o divergente de um rotacional é identicamente nulo, qualquer que seja a função sobre a qual a operação é aplicada, temos: $\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot \left(-\nabla U+\nabla \times \mathbf {W} \right)=\nabla \cdot \left(-\nabla U\right)=\nabla ^{2}\left({\frac {-1}{4\pi }}\int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)$

Como $\nabla ^{2}$ é um operador diferencial em relação a $\mathbf {r}$ e a integral é em relação a $\mathbf {r'}$, podemos fazer

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {-1}{4\pi }}\int D(\mathbf {r'} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int D(\mathbf {r'} )\left(-4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\right){d}\tau '=\int D(\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} ){d}\tau '=D(\mathbf {r} ),$

onde usamos a conhecida propriedade da função Delta de Dirac:

$\int \mathbf {f} (\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {a} ){d}\tau '=\mathbf {f} (\mathbf {a} )$

Logo, como queríamos demonstrar, $\nabla \cdot \mathbf {F} =D(\mathbf {r} )$

Rotacional de F(r)

Uma vez que o rotacional de um gradiente é identicamente nulo, qualquer que seja a função sobre a qual o operador atua, e usando a identidade $\nabla \times (\nabla \times )=-\nabla ^{2}+\nabla (\nabla \cdot )$, temos:

$\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times \left(-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} (\mathbf {r} )\right)=\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {W} \right)=-\nabla ^{2}\mathbf {W} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {W} )$

Como $\nabla ^{2}$ é um operador diferencial em relação a $\mathbf {r}$ e a integral é em relação a $\mathbf {r'}$, o primeiro termo do lado direito da equação acima fica:

$-\nabla ^{2}\mathbf {W} =-\nabla ^{2}\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)={\frac {-1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\left(-4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\right){d}\tau '$

$=\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} ){d}\tau '=\mathbf {C} (\mathbf {r} )$

Para calcular o segundo termo vamos usar, adicionalmente, integração por partes de campos vetoriais e o fato de que uma derivada de ${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}$ em relação a $\mathbf {r}$ difere de uma derivada em relação a $\mathbf {r'}$ por um fator $(-1)$:

$\nabla \cdot \mathbf {W} =\nabla \cdot \left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla \cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int _{V}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla '\cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '$

$={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{V}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\nabla '\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r'} ){d}\tau '-\oint _{S}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\cdot {d}\mathbf {a} \right]$

Mas, como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, $\nabla '\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r'} )=0$. Ao mesmo tempo, se escolhermos uma superfície cujos pontos estão todos suficientemente longe da origem, i.e., se fizermos $r'\rightarrow \infty$ na integral de superfície da equação acima, teremos

$\oint {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\cdot {d}\mathbf {a} \rightarrow \oint {\frac {C(r')}{r'}}r'^{2}{d}r'=\oint C(r')r'{d}r'$

Como as condições $\left(1\right)$ garantem que $C(r')$ vai a zero mais rápido que $1/r'^{2}$, o integrando, que é constante ao longo da integração se escolhermos como superfície de integração uma esfera, vai a zero. Logo, a integral de superfície também vai a zero, o que dá

$\nabla \cdot \mathbf {W} =0$

Assim, ficamos com $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )$, como queríamos demonstrar.

Unicidade de F(r)

Até agora demonstramos que é possível escrever $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ como o rotacional de um campo vetorial menos o gradiente de um campo escalar, como na expressão $\left(3\right)$. Mas será que essa é a única forma de escrever $\mathbf {F}$? Em outras palavras, uma vez determinados o rotacional e o divergente de um campo vetorial $\mathbf {F}$, ele está unicamente fixado por $\left(3\right)$? A princípio, poderíamos adicionar à $\mathbf {F}$ um função cujo rotacional e divergente fossem identicamente nulos. Nada mudaria no que foi argumentado até agora, mas certamente $\mathbf {F}$ não seria único. Haveria tantas expressões diferentes para $\mathbf {F}$ quanto campos com rotacional e divergente nulo existissem. De fato, existem campos com rotacional e divergente nulo, mas nenhum deles consegue satisfazer a condição $\left(2\right)$:

$\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{1/r}}=\mathbf {0}$.

Ou seja, nenhum campo irrotacional e sem divergência vai a zero no infinito mais rápido que $r$.

Uma estratégia para mostrar formalmente a unicidade de $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ é supor que exista uma outra função $\mathbf {F_{2}} (\mathbf {r} )$, com o mesmo divergente e rotacional de $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$, e mostrar que $\mathbf {B} =\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} =\mathbf {0} .$

Temos, então: $\nabla \times \mathbf {F_{2}} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )$ e $\nabla \cdot \mathbf {F_{2}} =D(\mathbf {r} ).$ Logo,

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot (\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} )=D-D=0$.

Da mesma maneira,

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0}$

Pela última equação podemos definir $\mathbf {B} =-\nabla \phi$ e, substituindo na penúltima, $\nabla \cdot \mathbf {B} =-\nabla \cdot \nabla \phi =0$

Para duas funções escalares $u$ e $v$ diferenciáveis, há a identidade $\nabla \cdot (u\nabla v)=u\nabla \cdot \nabla v+(\nabla u)\cdot (\nabla v)$. Utilizando-a no teorema da divergência, obtemos:

$\int _{V}u\nabla \cdot (\nabla v){d}\tau +\int _{V}(\nabla u)\cdot (\nabla v){d}\tau =\int _{V}\nabla \cdot (u\nabla v){d}\tau =\oint _{S}(u\nabla v)\cdot {d}\mathbf {a}$

Se fizermos $u=v=\phi$, ficamos com

$\int _{V}\phi \nabla \cdot (\nabla \phi ){d}\tau +\int _{V}(\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi ){d}\tau =\oint _{S}(\phi \nabla \phi )\cdot {d}\mathbf {a}$

A primeira integral é nula, pois $\nabla \cdot \nabla \phi =0.$ A integral de área, lado direito da equação, é nula pelas condições $\left(1\right)$. Logo, resta:

$\int _{V}(\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi ){d}\tau =0$.

Como a igualdade vale qualquer que seja o volume $V$ escolhido, e o produto $(\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi )=\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =B^{2}$ nunca é negativo, concluímos que $\mathbf {B} =\mathbf {0} .$ Desse modo, como queríamos demonstrar:

$\mathbf {B} =\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} =\mathbf {0} .$

E fica provado que, uma vez determinado o rotacional e o divergente de um campo vetorial $\mathbf {F}$, e sob as condições $\left(1\right)$ e $\left(2\right)$, este existe e é dado pela expressão $\left(3\right)$ de forma única.

Funções potenciais

O conceito de potencial é útil em muitas situações, em física. O Teorema de Helmholtz tem alguns corolários extremamente importantes.

Campos vetoriais irrotacionais

Se $\nabla \times \mathbf {F} =0$ em todo o espaço, e sabendo que o rotacional do gradiente é identicamente nulo, temos:

$\nabla \times \left(-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} \right)=\nabla \times \nabla \times \mathbf {W} =0\Rightarrow \mathbf {W} =0$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o gradiente de um campo escalar: $\mathbf {F} =-\nabla \varphi (\mathbf {r} ).$

Chamamos a função escalar $\varphi (\mathbf {r} )$ de potencial escalar.

Pelo teorema de Stokes, $\int _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {a} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =0.$ Logo, uma integral de linha de um campo irrotacional num circuito fechado é identicamente nula. Isso implica qualquer integral de linha que comece e termine no mesmo ponto ser independente do caminho, pois se uma integral começa em $\mathbf {a}$ e termina em $\mathbf {b}$, e uma outra integral começa em $\mathbf {b}$ e termina em $\mathbf {a}$, a soma das duas dá uma integral de linha num caminho fechado, que é identicamente nula. Logo:

$\int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} +\int _{\mathbf {b\rightarrow c2} }^{\mathbf {a} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =\int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} -\int _{\mathbf {a\rightarrow c2} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =0\Rightarrow \int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =\int _{\mathbf {b\rightarrow c2} }^{\mathbf {a} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l}$

Ou seja, a integral de linha é independente do caminho.

Campos vetoriais sem divergência

Se $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$ em todo o espaço, e sabendo que o divergente do rotacional é identicamente nulo, temos:

$\nabla \cdot \left(-\nabla U+\nabla \times \mathbf {W} \right)=-\nabla \cdot \left(\nabla U\right)=0\Rightarrow \nabla U=0$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o rotacional de um campo vetorial: $\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$.

Chamamos a função vetorial $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ de potencial vetor.

Pelo teorema da divergência, $\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} {d}\tau '=\oint _{S}\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {a} =0.$ Logo, no fluxo de um campo sem divergência numa superfície fechada é identicamente nulo.

Podemos mostrar, também, que qualquer integral de superfície, cuja superfície de integração esteja apoiada num mesmo contorno C, tem o mesmo valor. Ou seja, uma integral de superfície de um campo sem divergência não depende da superfície, para um dado contorno de apoio.

Aplicação em eletromagnetismo

A informação de que um campo vetorial está unicamente fixado pelo seu divergente e rotacional é de fundamental importância para a teoria eletromagnética. Toda a informação física relevante dos fenômenos eletromagnéticos é tirada de quatro equações diferenciais, as Equações de Maxwell, que envolvem precisamente o divergente e o rotacional dos campos vetoriais elétrico e magnético. São elas:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ (Lei de Gauss)

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ (Lei de Faraday-Neumann-Lenz)

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ (Ausência de monopolos magnéticos)

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$ (Lei de Ampère)

Além disso, o conceito desenvolvido acima de potencial escalar e potencial vetor simplifica a solução de muitos problemas físicos.

Ligações externas

• Teorema de Helmholtz em WolframMathWorld (em inglês).
• Teorema de Helmholtz em Utexas (em inglês).