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Oscilador harmônico amortecido

Dependência do comportamento do sistema no valor da razão de amortecimento ζ

Um oscilador harmônico amortecido, que perde velocidade devido ao atrito

Outro oscilador harmônico amortecido

Em osciladores reais, atrito, ou amortecimento, diminui a velocidade do sistema. Devido à força de atrito, a velocidade diminui em proporção à força de atrito que atua. Enquanto o movimento harmônico simples oscila com apenas a força restaurativa agindo sobre o sistema, o oscilador harmônico amortecido experimenta (é sujeito a) atrito. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito F_f pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: F_f = −cv, onde c é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso.

O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,

$F=F_{ext}-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.$

Quando nenhuma força extena está presente (isto é, quando $F_{ext}=0$), isto pode ser reescrito na forma

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{\,2}x=0,$

onde

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ é chamada de 'freqüência angular não amortecida do oscilador' e

$\zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}$ é chamada de 'razão do amortecimento'.

Resposta de degrau para um oscilador harmônico amortecido; curvas são desenhadas para três valores de μ = ω₁ = ω₀√1−ζ². Tempo é em unidades de tempo de decaimento τ = 1/(ζω₀).

O valor da razão de amortecimento ζ determina criticamente o comportamento do sistema. Um oscilador harmônico amortecido pode ser:

• Superamortecido (ζ > 1): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Valor maiores da razao de amortecimento ζ retornam ao equilibrio mais devagar.
• Criticamente amortecido (ζ = 1): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar (embora ultrapassaem possa acontecer). Isto é frequentemente desejado para o amortecimento sistemas como os de portas.
• Subamortecido (ζ < 1): O sistema oscila (com uma freqüência levement diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente descrescendo a zero. A velocidade angular do oscilador harmônico subamortecido é dada por

$\omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.$

O fator Q de um oscilador harmônico amortecido é definido como

$Q=2\pi \times {\frac {\text{Energia armazenada}}{\text{Energia perdida por ciclo}}}.$

Q é relacionado à razão de amortecimento pela equação $Q={\frac {1}{2\zeta }}.$