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Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtragem no Domínio da Freqüência de uma imagem consiste em modificar a transformada de Fourier de uma imagem e depois calcular a transformada inversa para obter resultado processado (Gonzáles Woods). O Autor define a filtragem no domínio da Freqüência como a multiplicação de uma função filtro, $H(u,v)$ por $F(u,v)$ a transformada de Fourier da imagem de entrada.

Tipos de Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtragem pode ser dividida em dois tipos, filtragem domínio espacial, e filtragem no domínio da freqüência, a filtragem no Domínio da freqüência tem suas técnicas fundamentadas no teorema da convolução, que e uma das propriedades da transformada de Fourier, segundo Jean Baptiste Josep Fourier qualquer função periódica pode ser expressa com a soma de senos ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente (essa soma passou a se conhecida como serie de Fourier). A filtragem no domínio da Freqüência consiste em modificar a transformada de Fourier de uma imagem e depois calcular a transformada inversa para obter o resultado processado. O processo de Filtragem no Domínio da Freqüência consiste em três etapas: 1 a imagem é transformada do domínio espacial para o domínio da freqüência usando a transformada de Fourier, onde ocorrera a filtragem 2 ocorre o processo de transformação nessa imagem 3 a imagem sofre a transformação inversa e retorna ao domínio espacial sendo este seu ponto inicial.

Exemplo Teórico

Como abordado na obra de Gonzalez e Woods a Filtragem no Domínio da Freqüência consiste em modificar a transformada de Fourier de uma imagem e depois calcular a transformada inversa para o obter o resultado processado. Dessa forma dada uma imagem digital $f(x,y)$, de tamanho $MxN$, a equação básica de filtragem no qual estamos interessados tem a seguinte forma.
$g(x,y)$ = $\Im$ $[H(u,v)F(u,v)]$
Na qual o símbolo é a IDFT, $F(u,v)$ é a DFT da imagem de entrada da $f(x,y),H(u,v)$ é uma função filtro (também chamada apenas de filtro ou função de transferência de Filtro) e $g(x,y)$ é imagem filtrada de saída. As funções F, H e g são arranjos de tamanho $MxN$, o mesmo que a imagem de entrada. O produto $H(u,v)$ $F(u,v)$ é formado utilizando a multiplicação de arranjos matriciais. A função filtro modifica a transformada da imagem de entrada para gerar uma de saída processada $g(x,y)$.

Exemplo Prático

Filtro de Passa Baixa

Abaixo serão demonstrados dois processos de filtragem de imagem. Para tal será utilizado o software ImageJ que é um software de processamento de imagens. Onde estaremos utilizando dois tipos de filtros lineares sendo que o primeiro o filtro de Passa baixa, onde o processo consiste em atenuar alta frequências como bordas e outras transições abruptas de intensidade (como ruído), dessa forma a suavização (borramento) é obtida no domínio da freqüência isto é pela filtragem (Gonzalez e Woods).

Imagem 1: Figura de um Automovel sem Filtro

Imagem filtrada com Filtro de Passa Baixa

Obtemos uma imagem “borrada”, ou seja, ocorre uma perda de detalhes que são compostos de altas frequências. Aplicando o inverso deste filtro explicitamos os detalhes perdidos na imagem anterior. Imagem a ser filtrada com filtro de passa baixa atenua (ou elimina) as altas frequências que estão relacionadas com a informação de detalhes da imagem. Efeito visual de um filtro passa-baixas é o de suavização (smoothing) da imagem uma vez que as altas frequências, que correspondem às transições abruptas, são atenuadas. A suavização tende também, pelas mesmas razões, a minimizar o efeito do ruído em imagens. A filtragem passa-baixas tem, por outro lado, o efeito indesejado de diminuir a resolução da imagem, provocando assim, um leve borramento. Ou seja, diminui a nitidez e a definição da imagem.

Filtro de Passa Alta

O aguçamento pode ser obtido no domínio da freqüência pela filtragem de passa alta, que atenua componentes de baixa freqüência sem afetar as informações de alta freqüência na transformada de Fourier. É um filtro que permite a passagem de frequências altas e reduza amplitude de frequências baixas.

Figura 3 : - Imagem de um Automóvel em ambiente aberto , sem aplicação de Filtro

Atenuam ou eliminam as baixas frequências, realçando as altas frequências e são normalmente usados para realçar os detalhes na imagem (agudização–sharpening).

Para filtros passa-altas, o efeito obtido é, em geral, o de tornar mais nítidas as transições entre regiões diferentes, conhecidas como bordas, realçando o contraste. O efeito indesejado destes filtros é o de enfatizar o ruído presente na imagem.

A filtragem de Passa Baixa e um elemento fundamental na indústria gráfica de publicação, já se tratando do Filtro de Passa Alta tem aplicações como aguçamento de radiografias e outros métodos onde haja necessidade de melhor compreensão de imagens.