Valor esperado

Em Estatística, em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática

Esperança de uma variável aleatória

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis $x_1, x_2, x_3, \ldots$ e com as suas probabilidades representadas pela função $p(x_i)$, o valor esperado calcula-se pela série:

$E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)$

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade $f(x)$:

$E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx$

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

$E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g(x_i) p(x_i)$

e

$E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx$

Deve-se notar que, no caso geral, $\mathbf{E}\,$ não comuta com a função g, ou seja:

$E[g(X)] \neq g(E[X])\,$

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão

Para o caso mais geral de $\mathbf{X}\,$ ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com $\mathbf{g}\,$ assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

$E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\sum_{i=1}^{\infty} p(\mathbf{x_i}) \mathbf{g}(\mathbf{x_i})\,$

e

$E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\int_{\Omega} \mathbf{g} dP\,$, em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

• a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
• a variável aleatória X dada por $p(X = (-10)^n) = (1/2)^n\,$ para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
• Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias $Y_1,...,Y_n$. A esperança de Y, $E[Y]$, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,

$Y=\begin{bmatrix} Y_{1} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{bmatrix} \rightarrow E[Y] = \begin{bmatrix} E[Y_{1}] \\ \vdots \\ E[Y_{n}] \end{bmatrix}$.

Propriedades do valor esperado

Nas seguintes propriedades, $X, Y$ são variáveis aleatórias, $a, b, c$ são constantes.

$E(a) = a\,$

$E (a + X) = a + E(X)\,$

$E(b X) = b E(X)\,$

$E(a + b X) = a + b E(X)\,$

E para duas variáveis aleatórias:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)\,$

$E(a + bX + cY) = a + b E(X) + c E(Y)\,$

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

$E[a X + b Y] = a E[X] + b E[Y]\,$

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto

No caso geral, temos que

$E[X Y] \neq E[X] E[Y]\,$

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

$E[X Y] = E[X] E[Y]\,$

Esperança condicional

Seja uma variável aleatória $X: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ e uma sigma-álgebra ${\color{Magenta}\tau}$ no espaço amostral ${\color{Red}\Omega}$. A esperança condicional de X, dado ${\color{Magenta}\tau}$, é a variável aleatória $Z: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

$Z=E \left [ X | {\color{Magenta}\tau} \right ]$ $= \sum_{i=1}^{n} x_i P \left [ X = x_i | {\color{Magenta}\tau} \right ]$.

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

• Z não contém mais informação que a contida em ${\color{Magenta}\tau}: \sigma \left ( Z \right ) \sub {\color{Magenta}\tau}$. Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) $\varpi \rightarrow Z \left ( \varpi \right )$ é mensurável com relação a ${\color{Magenta}\tau}$ (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ${\color{Magenta}\tau}$)
• Z satisfaz a relação $E(X( \varpi ).I_A)$ $= E \left [ Z \left ( \varpi \right ).I_A \right ] \forall A \in {\color{Magenta}\tau}$, onde $I_A$ é uma variável indicadora, que vale 1 se $\varpi \in A$ e 0 se $\varpi \not\in A$.