Valor esperado

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Em Estatística, em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

Esperança de uma variável aleatória[editar | editar código-fonte]

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis x_1, x_2, x_3, \ldots e com as suas probabilidades representadas pela função p(x_i), o valor esperado calcula-se pela série:

E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade f(x):

E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g(x_i) p(x_i)

e

E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx

Deve-se notar que, no caso geral, \mathbf{E} não comuta com a função g, ou seja:

E[g(X)] \neq g(E[X])

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão[editar | editar código-fonte]

Para o caso mais geral de \mathbf{X} ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com \mathbf{g} assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\sum_{i=1}^{\infty} p(\mathbf{x_i}) \mathbf{g}(\mathbf{x_i})

e

E[\mathbf{g}(\mathbf{X})]=\int_{\Omega} \mathbf{g} dP, em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Y=\begin{bmatrix} Y_{1} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{bmatrix} \rightarrow E[Y] = \begin{bmatrix} E[Y_{1}] \\ \vdots \\ E[Y_{n}] \end{bmatrix}.

Propriedades do valor esperado[editar | editar código-fonte]

Nas seguintes propriedades, X, Y são variáveis aleatórias, a, b, c são constantes.

E(a) = a
E (a + X) = a + E(X)
E(b X) = b E(X)
E(a + b X) = a + b E(X)

E para duas variáveis aleatórias:

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(a + bX + cY) = a + b E(X) + c E(Y)

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperança[editar | editar código-fonte]

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

E[a X + b Y] = a E[X] + b E[Y]

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto[editar | editar código-fonte]

No caso geral, temos que

E[X Y] \neq E[X] E[Y]

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

E[X Y] = E[X] E[Y]

Esperança condicional[editar | editar código-fonte]

Seja uma variável aleatória X: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} e uma sigma-álgebra {\color{Magenta}\tau} no espaço amostral {\color{Red}\Omega} . A esperança condicional de X, dado {\color{Magenta}\tau} , é a variável aleatória Z: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} tal que

Z=E \left [ X | {\color{Magenta}\tau} \right ] [1]  = \sum_{i=1}^{n} x_i P \left [ X = x_i | {\color{Magenta}\tau} \right ].[2]

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

  • Z não contém mais informação que a contida em {\color{Magenta}\tau}: \sigma \left ( Z \right ) \sub {\color{Magenta}\tau} . Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função)  \varpi \rightarrow Z \left ( \varpi \right ) é mensurável com relação a {\color{Magenta}\tau} (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a {\color{Magenta}\tau} ) [3]
  • Z satisfaz a relação E(X( \varpi ).I_A) = E \left [ Z \left ( \varpi  \right ).I_A \right ] \forall A \in {\color{Magenta}\tau}, onde I_A é uma variável indicadora, que vale 1 se \varpi \in A e 0 se \varpi \not\in A .

Referências

  1. SILVA, Marcos Eugênio da. Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>
  2. Esperança Condicional. Disponível em: <http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/mle/DocMAII/DocMAII0102/espcondicional.pdf>. Acesso em: 05 de abril de 2011.
  3. SILVA, Marcos Eugênio da. Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>