Valoração (álgebra)

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Valoração, em álgebra abstrata, é uma função que associa a cada elemento um valor ordenado.

Existem várias definições diferentes na literatura, que variam, inclusive, sobre o tipo de objeto que está sendo valorado, e sobre qual é o resultado da valoração.[carece de fontes?]

Um exemplo de valoração está associado ao grau de um polinômio.[1] Seja K um corpo qualquer, e seja K(X) o corpo das funções racionais em K, ou seja, cada elemento de f de K(X) pode ser escrito (não de forma única) como:

f = \frac {g} {h}\,

em que g e h são polinômios em k[X]. Então, a função definida [Nota 1] como [Nota 2]

v(\frac{g}{h}) = \mbox{grau}(h) - \mbox{grau}(g), \ \mbox{para} \ g \ne 0\,
v(0) = \infty\,

satisfaz às seguintes propriedades:

O único elemento f cuja valoração é infinita é o zero
v(x y) = v(x) + v(y)
v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Como outro exemplo, seja x um número racional não nulo, e defina-se v(x) como a maior potência de 2 (incluindo potências negativas) que podemos extrair, por divisão, de x, para que o resultado seja um número cujo denominador é ímpar. Por exemplo, v(14) = 1,[Nota 3] v(3) = 0 e v(13/12) = -2. Observa-se, igualmente, que esta função satisfaz:[2]

v(x y) = v(x) + v(y)
v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Definições[editar | editar código-fonte]

O que todos estes exemplos tem em comum é que temos, como conjunto sendo valorado, um conjunto em que existem operações de soma e produto e o elemento zero, e no conjunto destino uma operação binária e uma relação de ordem. Para que a definição faça sentido, é conveniente que o conjunto de partida tenha determinadas propriedades algébricas (como comutatividade da soma, e não haver divisores de zero), e que o conjunto de destino também tenha outras propriedades elementares (como associatividade da soma). Assim, é comum que a definição de uma valoração seja feita com domínio em conjuntos K que são corpos, ou quase isto (ou seja, um corpo não comutativo, que tem todas propriedades de um corpo exceto que a multiplicação não é comutativa, ou um domínio de integridade, em que a propriedade que falta é a existência do inverso multiplicativo). O contradomínio costuma ser um grupo ordenado, normalmente o conjunto dos números inteiros ou conjunto dos números reais, ao qual é adicionado o infinito.[carece de fontes?]

Mais especificamente, temos as seguintes definições:[3] [2] [1]

Uma valoração é uma função
v: K \to G \cup \{ \infty \}\,
satisfazendo as propriedades:[Nota 4]
v(x) = \infty \iff x = 0\,
v(x y) = v(x) + v(y)\,
v(x + y) \ge \min(v(x), v(y))\,

em que:

K é um corpo,[2] [1] um anel de divisão [3] ou um domínio de integridade

e

G = \mathbb{Z}\,[2] ou G = \mathbb{R}\,[1] ou G é um grupo ordenado qualquer.[3]

No caso em que o contradomínio da valoração é o conjunto dos números inteiros (com a inclusão do infinito, para v(0) = \infty\,) a valoração é chamada de valoração discreta.[2]

Uma definição que gera resultados semelhantes é considerar o contradomínio da valoração não como um grupo aditivo, mas como um grupo multiplicativo, ou, mais especificamente, como o conjunto dos números reais positivos. Então, em vez de incluir o infinito, inclui-se o zero, sendo necessário ajustar as propriedades de v(0) e v(x + y), a primeira para que v(0) = 0, e a segunda considerando uma inversão da ordem. Uma valoração genérica teria, em vez da terceira propriedade, a desigualdade triangular, ou seja, v(x + y) ≤ v(x) + v(y); para evitar ambiguidade, define-se uma valoração não arquimediana.[carece de fontes?] Mais especificamente:

Uma valoração não arquimediana é uma função[4]
v: K \to [0, \infty)\,
satisfazendo:
v(x) = 0 \iff v = 0\,
v(x y) = v(x) v(y)\,
v(x + y) \le \max(v(x), v(y))\,
em que K é um corpo.

Notas e referências

Notas

  1. A rigor, é preciso mostrar que esta definição está correta, ou seja, é preciso mostrar que se f for escrito de duas formas diferentes, por exemplo f = g1 / h1 = g2 / h2, então a fórmula para v(f) dará o mesmo resultado quando aplicada para g1 / h1 ou para g2 / h2
  2. No texto de Cindy Tsang, há um erro tipográfico, e a função v é definida com o sinal trocado.
  3. No texto de Ravi Vakil, há um erro tipográfico, e está escrito v(14) = 2.
  4. No texto de A. H. Wadsworth, a função valoração é definida apenas para elementos que não são zero, então o contradomínio é um grupo ordenado, sem o infinito, não existe a propriedade de v(0), e a propriedade de v(x + y) só se aplica a valores de x, y e x+y quando nenhum deles é zero.

Referências

  1. a b c d Cindy Tsang, Generalized Valuations [em linha]
  2. a b c d e Ravi Vakil, Introduction to Algebraic Geometry, Class 16 [em linha]
  3. a b c A. R. Wadsworth, Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras, p.5 [em linha]
  4. Wim H. Schikhof, Banach Spaces over Non-Arquimedian Valued Fields, p.548 [em linha]