Variação total

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Em análise matemática, define-se a variação total de uma função f:D\to\mathbb{R}\, em um intervalo [a,b]\subseteq D\, como:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\sup \sum_{i}\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,

As variações positiva e negativa de uma função f:D\to\mathbb{R}\, em um intervalo [a,b]\subseteq D\, são definidas, respectivamente, como:

\hbox{var}_{[a,b]}^+(f)=\sup \sum_{(+)}\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,
\hbox{var}_{[a,b]}^-(f)=\sup \sum_{(-)}-\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições x_1,x_2,x_3,\ldots\, do intervalo [a,b]\,, (+) significa para todo i tal que f(x_i)\geq f(x_{i-1}) e (-) significa para todo i tal que f(x_i)\leq f(x_{i-1}).

Propriedades da variação total[editar | editar código-fonte]

1. Se f\, é um função monótona, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,

2. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)\geq \hbox{var}_{[c,d]}(f)\,, sempre que a\leq c\leq d\leq b\,.

3. Se f\, e g\, são funções reais, vale

\hbox{var}_{[a,b]}(f+g)\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)+\hbox{var}_{[a,b]}(g)\,,

4. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)= |\alpha|\hbox{var}_{[a,b]}(f),~~\forall~\alpha\in\mathbb{R}\,,

5. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,c]}(f)= \hbox{var}_{[c,b]}(f)+\hbox{var}_{[b,c]}(f),~~\forall~c\in[a,b]\,,

Relações entre as variações total, positiva e negativa[editar | editar código-fonte]

1. \hbox{var}_{[a,b]}(f) = \hbox{var}^+_{[a,b]}(f) + \hbox{var}^-_{[a,b]}(f).

2. f(x)-f(a) = \hbox{var}^+_{[a,b]}(f) - \hbox{var}^-_{[a,b]}(f).

Função de variação limitada[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função real f:D\to\mathbb{R}\, é de variação limitada em um intervalo [a,b]\, se e somente se, para qualquer \alpha<\infty vale que:

\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty\,

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Funções crescentes em um intervalo [a, b] são de variação limitada neste intervalo.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Se f é um função crescente em [a, b], então \hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f) = \alpha \sup \sum_{i}\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right| = \alpha \sup \sum_{i}f(x_i)-f(x_{i-1}) \leq \alpha(f(b)-f(a)) < \infty .

Teorema[editar | editar código-fonte]

Uma função f é de variação limitada em [a, b] se, e somente se, f é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Se f(x) = f_1(x) - f_2(x), com f_1, f_2 crescentes e limitadas, então \hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f) = \hbox{var}_{[a,b]}(\alpha (f_1(x)-f_2(x))) \leq \hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f_1(x)) - \hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f_2(x)) \infty.

Por outro lado, se f é devariação limitada em [a, b], então considere f_1(x) = \hbox{var}^+_{[a,b]}(f) e f_2(x) = \hbox{var}^-_{[a,b]}(f). Obviamente f_1 e f_2 são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que

f(x) = \hbox{var}^+_{[a,b]}(f) + f(a) - \hbox{var}^-_{[a,b]}(f) = f_1(x)+f_2(x).

Relação com a diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{R}\, uma função de classe C^1[a,b]\,, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\int_a^b |f'(x)|dx\,

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x\cos\left(\frac{\pi}{x}\right),&x\neq 0\\
0,&x =0
\end{array}
\right.

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo [0,1]\,. Para provar isso considere o seguintes pontos:

x_n=\frac{1}{n+1},\quad f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots\,

Assim

\left|f(x_n)-f(x_{n-1})\right|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n, n=1,2,3,\ldots\,

Portanto, \hbox{var}_{[0,1]}(f)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty\,

Relação com a integrabilidade[editar | editar código-fonte]

A seguinte integral

\int_{a}^{b}f(x) d\gamma(x)

é bem conhecida quando temos \gamma(x) = x. Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que \gamma seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que \gamma seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que

\gamma(x) = \lambda_1(x) - \lambda_2(x),

onde \lambda_1 e \lambda_2 são funções crescentes e limitadas.

Portanto, temos que

\int_{a}^{b}f(x) d\gamma(x) = \int_{a}^{b}f(x) d(\lambda_1(x) - \lambda_2(x)) = \int_{a}^{b}f(x) d\lambda_1(x) - \int_{a}^{b}f(x) d\lambda_2(x).

References[editar | editar código-fonte]

  • Shakarchi, Rami (2007), Real Analysis, Princeton University .