Variação total

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Em análise matemática, define-se a variação total de uma função f:D\to\mathbb{R}\, em um intervalo [a,b]\subseteq D\, como:

\hbox{var}_{[a,b]}=\sup \sum_{i}\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,

O supremo é tomado sob todas as possíveis partições x_1,x_2,x_3,\ldots\, do intervalo [a,b]\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

1. Se f\, é um função monótona, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,

2. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)\geq \hbox{var}_{[c,d]}(f)\,, sempre que a\leq c\leq d\leq b\,.

3. Se f\, e g\, são funções reais, vale

\hbox{var}_{[a,b]}(f+g)\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)+\hbox{var}_{[a,b]}(g)\,,

4. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)= |\alpha|\hbox{var}_{[a,b]}(f),~~\forall~\alpha\in\mathbb{R}\,,

5. Se f\, uma função real, então:

\hbox{var}_{[a,c]}(f)= \hbox{var}_{[c,b]}(f)+\hbox{var}_{[b,c]}(f),~~\forall~c\in[a,b]\,,

Função de variação limitada[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função real f:D\to\mathbb{R}\, é de variação limitada em um intervalo [a,b]\, se e somente se:

\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty\,

Pode-se mostrar que uma função é de variação limitada se e somente se puder ser escrita como a diferença de duas funções crescentes.

Relação com a diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{R}\, uma função de classe C^1[a,b]\,, então:

\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\int_a^b |f'(x)|dx\,

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x\cos\left(\frac{\pi}{x}\right),&x\neq 0\\
0,&x =0
\end{array}
\right.

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo [0,1]\,. Para provar isso considere o seguintes pontos:

x_n=\frac{1}{n+1},\quad f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots\,

Assim

\left|f(x_n)-f(x_{n-1})\right|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n, n=1,2,3,\ldots\,

Portanto, \hbox{var}_{[0,1]}(f)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty\,