Variedade

 Nota: Se procura o nível taxonómico, veja Variedade (biologia).

 Nota: Se procura tubulações, veja Manifold (engenharia geral).

Em matemática, variedade é uma generalização da idéia de superfície.

Existem vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis.

As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise.

Motivação

Considere a opinião de que a Terra é plana em contraste com a evidência moderna de que é um geóide isto é aproximadamente esférica. A discrepância vem essencialmente do fato que, nas escalas pequenas que vemos, a terra parece ser plana. Generalizando, qualquer objeto que for quase "plano" em escalas pequenas é uma variedade. As variedades constituem uma generalização dos objetos que podem ser considerados planos, em torno de um dado ponto.

Construção geral

Quatro cartas de um círculo.

A ideia geral comum aos vários tipos de variedades consiste na decomposição de um conjunto em vários pedaços do mesmo tipo, de modo que estes pedaços se liguem bem.

Formalmente, considere-se um espaço topológico $X\,$ e um grupo $G\,$ de homeomorfismos de abertos de $X\,$. Uma variedade modelada no par $(X,G)\,$ é um espaço topológico $M\,$ dotado de um conjunto de homeomorfismos $\phi_i:U_i\rightarrow V_i$, onde $U_i\,$ e $V_i\,$ são abertos de $M\,$ e $X\,$, respectivamente tais que:

• $\cup_i U_i=M$
• se $U_i\cap U_j\neq\emptyset$, então $\phi_j\circ\phi_i^{-1}\in G$

Cada função $\phi_i\,$ é chamada uma carta, e a coleção de todas as cartas é chamada de atlas.

Variedades topológicas

Uma variedade topológica é uma variedade modelada no par $(\R^n,\mbox{Homeo}(\R^n))$, onde $\mbox{Homeo}(\R^n)$ é o conjunto dos homeomorfismos de $\R^n$. Por outras palavras, uma variedade topológica é um espaço topológico que localmente é similar a um espaço euclidiano.

Variedades diferenciáveis

Uma variedade diferenciável é uma generalização de uma variedade topológica que traduz a ideia de diferenciabilidade. É uma variedade modelada no par $(\R^n,\mbox{Difeo}(\R^n))$, onde $\mbox{Difeo}(\R^n)$ é o conjunto dos difeomorfismos de $\R^n$.

Dimensão

As variedades de dimensão 1 e 2 têm nomes especiais. Assim,

• uma variedade de dimensão 1 chama-se uma curva;
• uma variedade de dimensão 2 chama-se uma superfície.

Exemplos

O exemplo básico de uma variedade é o próprio espaço euclidiano; muitas das suas propriedades recaem sobre as variedades. Além disso, todo o limite plano de um subconjunto do espaço euclidiano, como o círculo ou a esfera, é uma variedade.

Ver também

• Teoria das variedades