Variedade algébrica

Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir um relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Definição

Se $K$ um corpo algebricamente fechado, $K[x_1, x_2, \ldots , x_n]$ o anel de polinômios em $K$ com $n$ variáveis, e $\{ f_i \}_{i = 1, 2, \ldots , n}$ uma família de polinômios do anel. O subconjunto de $K^n$ formado dos pontos que anulam todos os polinômios de $\{ f_i \}_{i = 1, 2, \ldots , n}$ é uma variedade algébrica:

$V = \{ (x_1, x_2, \ldots , x_n ) \mid f_i(x_1, x_2, \ldots , x_n ) = 0, \,\forall i = 1, 2, \ldots , n \} \subseteq K^n$.

Variedades afins

Ver artigo principal: Variedade afim

Dado o corpo algebricamente fechado $K$ e um espaço afim $\mathbb{A}^n$ de dimensão $n$ sobre $K$, os polinômios do anel $K[x_1, x_2, \ldots , x_n]$ são funções a valores em $K$ definidas sobre $\mathbb{A}^n$.

Tomada uma família de polinômios $S \subseteq K[x_1, x_2, \ldots , x_n]$, o conjunto dos pontos de $\mathbb{A}^n$ pelos quais as funções de $S$ são todas nulas:

$Z(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0 \,\forall f \in S\}$

é dito conjunto algébrico afim. Se $Z(S)$ não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades

• Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski).

• Dado $V \subseteq \mathbb{A}^n$, $I(V)$ é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre $V$:

$I(V) = \{f \in K[x_1, x_2, \cdots , x_n] \mid f(x) = 0 \,\forall x \in V\}$.

Se define anel da coordenadas $K[V]$ de $V$ o anel quociente $\frac{K[x_1, x_2, \cdots , x_n]}{I(V)}$. O grau de transcendência do campo das frações de $K[V]$ sobre $K$ é dito dimensão de $V$.

• Um conjunto algébrico afim $V$ é uma variedade se e somente se $I(V)$ é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de $V$ é um domínio de integridade.

• Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetiva

Ver artigo principal: Variedade projetiva

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo $\mathbb{P}^n$ sobre o corpo $K$: neste caso considera-se um conjunto $S \subseteq K[x_1, x_2, \cdots , x_n]$, formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricas

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas $V_1$ e $V_2$ é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

$\phi \colon V_1 \to V_2$.

$V_1$ e $V_2$ são ditas isomorfas e se escreve $V_1 \cong V_2$.

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.

Variedades algébricas diferenciáveis

(em italiano)