Variedade algébrica

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Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir um relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se K um corpo algebricamente fechado, K[x_1, x_2, \ldots , x_n] o anel de polinômios em K com n variáveis, e \{ f_i \}_{i = 1, 2, \ldots , n} uma família de polinômios do anel. O subconjunto de K^n formado dos pontos que anulam todos os polinômios de \{ f_i \}_{i = 1, 2, \ldots , n} é uma variedade algébrica:


V = \{ (x_1, x_2, \ldots , x_n ) \mid f_i(x_1, x_2, \ldots , x_n ) = 0, \,\forall i = 1, 2, \ldots , n \} \subseteq K^n
.

Variedades afins[editar | editar código-fonte]

Dado o corpo algebricamente fechado K e um espaço afim \mathbb{A}^n de dimensão n sobre K, os polinômios do anel K[x_1, x_2, \ldots , x_n] são funções a valores em K definidas sobre \mathbb{A}^n.

Tomada uma família de polinômios S \subseteq K[x_1, x_2, \ldots , x_n], o conjunto dos pontos de \mathbb{A}^n pelos quais as funções de S são todas nulas:

Z(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0 \,\forall f \in S\}

é dito conjunto algébrico afim. Se Z(S) não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Dado V \subseteq \mathbb{A}^n, I(V) é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre V:
I(V) = \{f \in K[x_1, x_2, \cdots , x_n] \mid f(x) = 0 \,\forall x \in V\}.
Se define anel da coordenadas K[V] de V o anel quociente \frac{K[x_1, x_2, \cdots , x_n]}{I(V)}. O grau de transcendência do campo das frações de K[V] sobre K é dito dimensão de V.
  • Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetiva[editar | editar código-fonte]

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo \mathbb{P}^n sobre o corpo K: neste caso considera-se um conjunto S \subseteq K[x_1, x_2, \cdots , x_n], formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricas[editar | editar código-fonte]

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas V_1 e V_2 é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

 \phi \colon V_1 \to V_2.

V_1 e V_2 são ditas isomorfas e se escreve V_1 \cong V_2.

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.

Variedades algébricas diferenciáveis[editar | editar código-fonte]

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(em italiano)

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