Vetor (matemática)

 Nota: Para outros significados de vetor, veja Vetor.

Representação gráfica de um vector.

Em geometria analítica, um vector espacial ^{(português brasileiro)} ou vetor espacial ^{(português europeu)} , ou simplesmente vector ^{(português brasileiro)} ou vetor ^{(português europeu)} é uma classe de elementos geométricos, denominados segmentos de reta orientados, que possuem todos a mesma intensidade (denominada norma ou módulo), mesma direção e mesmo sentido.

Neste contexto, um vetor $\mathbf{a}$ pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que seja membro da classe deste vetor (ou seja: pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que possua mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe). E se o segmento $\overline{AB}$ (segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B) for um representante do vetor $\mathbf{a}$, então podemos dizer que o vetor $\mathbf{a}$ é igual ao vetor $\overrightarrow{AB}$.

De maneira mais formal, um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados de $\mathbb{V}^n$, em que $\mathbb{V}^n$ representa um espaço vetorial de n dimensões. Assim sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões ($\mathbb{V}^3$), cada vetor será dotado de três coordenadas, comumente denominadas x, y e z.

Quando falamos em distância geométrica "de A para B", podemos imaginar que o ponto A está sendo "carregado" até chegar ao ponto B

Muitas operações algébricas nos números reais possuem formas análogas para vetores. Vetores podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número e invertidos. Essas operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: comutatividade, associatividade e distributividade. A soma de dois vetores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada geometricamente usando a regra do paralelogramo. A multiplicação por um número positivo (comumente chamado escalar), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vetor, isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1 preserva a magnitude mas inverte o sentido. As coordenadas cartesianas fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vetores.

Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de um vetor físico dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades físicas são os pseudo-vetores e tensores.

Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o Cálculo Vetorial.

Módulo ou norma do vetor - $||\mathbf{a}||$

Módulo do vetor é seu comprimento (na figura acima, seria a distância AB).

Fórmula de cálculo: $||\mathbf{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ (dedução a partir do Teorema de Pitágoras)

Operações com vetores

Adição vetorial pela regra do paralelogramo.

Adição vetorial pela regra do triângulo.

Adição (ou Regra do paralelogramo ou Regra do triângulo)

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x+b_x) \mathbf{e_x} + (a_y+b_y) \mathbf{e_y} + (a_z+b_z) \mathbf{e_z}$

Subtração

$\mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x-b_x) \mathbf{e_x} + (a_y-b_y) \mathbf{e_y} + (a_z-b_z) \mathbf{e_z}$

Multiplicação por escalar

$|c . \mathbf{a}| = |c|.|\mathbf{a}|$ (há alteração na magnitude do vetor e manutenção do sentido se c > 0 e inversão do sentido se c < 0, sem que haja troca de direção).

Produto escalar

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos \theta$ (ocorre entre dois vetores e o resultado é um escalar, θ é o ângulo entre os vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$.)

Produto Vetorial

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_i & a_j & a_k \\ b_i & b_j & b_k \\ \end{bmatrix}=\det \begin{bmatrix} a_j & a_k \\ b_j & b_k \\ \end{bmatrix} \mathbf{i}\, - \det \begin{bmatrix} a_i & a_k \\ b_i & b_k \\ \end{bmatrix} \mathbf{j} \, + \det \begin{bmatrix} a_i & a_j \\ b_i & b_j \\ \end{bmatrix} \mathbf{k}$

O resultado de um produto vetorial é também um vetor. Sua norma pode ser calculada por $||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \operatorname{sen} \theta$, em que θ é o ângulo entre os vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$. A direção do vetor produto vetorial é sempre perpendicular ao plano que contém os vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ e seu sentido é definido pela regra da mão direita.

Ângulo entre dois vectores

$cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{||\mathbf{a}||||\mathbf{b}||}$

Um vetor poderia ser dado pelas suas propriedades sobre diferentes mudanças de sistema coordenadas. Também é possível generalizar esta definição para espaços não euclidianos com várias dimensões. Por exemplo, em geometria diferencial um vetor pode ser definido como uma derivada de uma curva e desta forma possui uma definição livre da escolha de um sistema específico de coordenada.

Uma definição diferencial também mostra que um vetor é um caso específico de um objeto mais genérico chamado tensor.

Versor - $\mathbf{u}$

Versor é um vector de valor unitário, ou seja, o módulo é igual a 1. É utilizado para indicar direcção, sentido e o ângulo formado com o eixo referencial.

$\hat {u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

Versores podem ser utilizados como bases de um dado espaço vetorial $\mathbb{V}^n$. A condição necessária e suficiente para tanto, é que tais versores sejam linearmente independentes entre si. Uma propriedade altamente conveniente é que todo vetor pertencente ao espaço vetorial $\mathbb{V}^n$ de base $(\mathbf{a_1} ,\mathbf{a_2}, ...,\mathbf{a_n})$ pode ser expresso como uma combinação linear dos versores base. Assim, dado um vetor genérico $\mathbf{b}$, temos que $\mathbf{b} = k_1 \mathbf{a_1} + k_2 \mathbf{a_2} + ... + k_n \mathbf{a_n}$, em que k_i são números reais.

Ver também

• Espaço vetorial
• Espaço afim, que distingue vetores e pontos
• Quadrivetor, a especialização para o espaço-tempo na teoria da relatividade
• Vetor normal
• Vetor nulo
• Vetor unitário
• Cálculo vetorial
• Fibrado vetorial
• Fasor (vetor de rotação)
• Polígono funicular

Ligações externas

• Apostila on-line da Fundação CECIERJ
• Módulo 'vetores' no sistema e-física do Instituto de Física da USP.
• História dos vetores
• O que é vetor (arte vetorial)