Wavelet

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Wavelet, onduleta [1] (português europeu) ou ondaleta [2] (português brasileiro) é uma função capaz de decompor e descrever ou representar outra função (ou uma série de dados) originalmente descrita no domínio do tempo (ou outra ou outras várias variáveis independentes, como o espaço), de forma a podermos analisar esta outra função em diferentes escalas de frequência e de tempo. A decomposição de uma função com o uso de wavelets é conhecida como transformada wavelet e tem suas variantes contínua e discreta. Graças a capacidade de decompor as funções tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo, as funções wavelet são ferramentas poderosas de processamento de sinais, muito aplicadas na compressão de dados, eliminação de ruido, separação de componentes no sinal, identificação de singularidades, detecção de auto-semelhança, e muito mais.

De Fourier até Wavelets[editar | editar código-fonte]

Na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o domínio da frequência, mas não podemos saber "quando" no tempo acontecem essas frequências que estudamos; enquanto isso, na análise com wavelets podemos extrair também informações da função no domínio do tempo. A resolução ou detalhamento da análise no domínio da frequência diminui enquanto a resolução no tempo aumenta, sendo impossível aumentar o detalhamento em um dos domínios sem diminuí-lo no outro (em uma analogia ao Princípio da incerteza de Heisenberg, chama-se esta relação entre os domínios da frequência e do tempo de relação de incerteza ou simplesmente de princípio da incerteza). Usando a análise de wavelets, é possível escolher a melhor combinação dos detalhamentos para um objetivo estabelecido.

Características[editar | editar código-fonte]

Para ser considerada uma wavelet, uma função tem de atender as seguintes características:

  1. A área total sob a curva da função é 0, ou seja 
\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t) dt = 0 \qquad (1a)
  2. A energia da função é finita, ou seja 
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 dt \qquad (1b)
\qquad (1a) é finita

Estas condições são equivalentes a dizer que \psi(t) é quadrado integrável ou que pertence ao conjunto \mathcal{L}^2(\R) das funções quadrado integráveis. As propriedades acima sugerem que \psi(t) tende a oscilar acima e abaixo do eixo t, e que tem sua energia localizada em uma certa região, já que ela é finita (condição de regularidade).

Uma wavelet tipo chapéu mexicano.

Essa característica de energia concentrada em uma região finita é que diferencia a análise usando wavelets da análise de Fourier, já que esta última usa as funções de seno e cosseno que são periódicas e infinitas. Uma outra forma de expressar a característica de regularidade é dizer que a transformação de wavelet é um operador local no domínio do tempo.

Para ser utilizada na análise de sinais uma função wavelet precisa também de outra característica que chamamos de condição de admissibilidade, e que permite a existência da transformada inversa de wavelet. Esta característica será discutida mais abaixo.

Uma wavelet de Morlet.

Alguns exemplos de funções que atendem estas características são a função wavelet de Morlet (ver figura ao lado):


\psi(t)=e^{-t^2}cos \left ( \pi t \sqrt{\frac{2}{\ln{2}}} \right ) \approx e^{-t^2} \cos{(2.885 \pi t)} \qquad (2a)

e a curva conhecida como chapéu mexicano (do inglês mexican hat), definida por:


\psi(t) = (1 - 2t^2)e^{-t^2} \qquad (2b)

que é a segunda derivada da função Gaussiana -0.5e^{-t^2}

Transformada de wavelet contínua[editar | editar código-fonte]

A transformada de wavelet decompõe uma função definida no domínio do tempo em outra função, definida no domínio do tempo e no domínio da frequência. Ela é definida como:


W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi^* \left ( \frac{t-b}{a} \right ) dt. \qquad (3a)

que é uma função de dois parâmetros reais, a e b. o símbolo * indica o conjugado complexo. Se definirmos \psi_{a,b}(t) como:


\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi^* \left ( \frac{t-b}{a} \right ), \qquad (3b)

Podemos reescrever a transformada como o produto interno das funções f(t) e \psi_{a,b}(t):


W(a,b) = \left \langle f(t), \psi_{a,b}(t) \right \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{a,b}(t) dt. \qquad (3c)

A função \psi(t) que equivale a \psi_{1,0}(t) é chamada de wavelet mãe (do inglês mother wavelet) enquanto as outras funções \psi_{a,b}(t) são chamadas de wavelets filhas. Estas têm a mesma forma geral que a wavelet mãe.

O parâmetro b indica que a função \psi(t) foi transladada no eixo t de uma distância equivalente a b, sendo então um parâmetro de translação. Já o parâmetro a causa uma mudança de escala, aumentando (se a > 1) ou diminuindo (se a < 1) a wavelet formada pela função. Por isto o parâmetro a é conhecido como parâmetro de escala (do inglês scaling parameter). As wavelets filhas constituem, por conseguinte, uma família de curvas com forma idêntica à da wavelet mãe, deslocadas no tempo e escaladas em amplitude. No domínio do tempo, a transformada de wavelet é uma medida da correlação entre o sinal f(t) e as wavelets filhas.

O termo \frac{1}{\sqrt{|a|}} é um fator de normalização que garante que a energia de \psi_{a,b}(t) seja independente de a e de b, tal que:


\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_{a,b} (t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 dt \qquad (3d)
[nota 1]

Há um vasto número de diferentes wavelets, cada adequada para diferentes aplicações.

wavelets discretas[editar | editar código-fonte]

   Coiflets
   Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet
   Daubechies wavelet
   Haar wavelet
   Mathieu wavelet
   Legendre wavelet
   Villasenor wavelet
   Symlets

wavelets contínuas[editar | editar código-fonte]

Reais.

   Beta wavelet
   Hermitian wavelet
   Hermitian hat wavelet
   Mexican hat wavelet
   Meyer wavelet
   Shannon wavelet

Complexas.

   Complex Mexican hat wavelet
   Morlet wavelet
   Shannon wavelet

Transformada inversa de wavelet[editar | editar código-fonte]

Como usamos wavelets para transformar uma função, precisamos também da transformada inversa, de forma a recompor o sinal no domínio do tempo a partir da sua decomposição. Se chamarmos de \Psi(\omega) a transformada de Fourier da função \psi(t):


\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(t)e^{-i\omega t}dt = \sqrt{a} \cdot \Psi(a \omega) \cdot e^
{-i \omega t} \qquad \omega = \frac{2 \pi}{a} \qquad(4a)

e se W(a,b) for a transformada de wavelet da função f(t) usando a wavelet \psi(t), então temos que a transformada inversa é dada por:


f(t) = \frac{1}{C} \iint\limits_{-\infty -\infty}^{\ \ \ \infty\ \infty} \frac{1}{|a|^2}W(a,b)\psi_{a,b}(t)da \  db, \qquad (4b)

onde C = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\Psi(\omega)|^2}{|\omega|}dw. \qquad (4c)

Este parâmetro C necessita ser finito e positivo, o que nos leva a uma nova restrição. Esta restrição sobre o valor de C é a condição de admissibilidade citada anteriormente.

Análise de wavelet[editar | editar código-fonte]

A análise de wavelet é feita pela aplicação sucessiva da transformada de wavelet com diversos valores para a e b, representando a decomposição do sinal original em diversos componentes localizados no tempo e na frequência, de acordo com estes parâmetros. Cada wavelet possui melhor ou pior localização nos domínios da frequência e do tempo, por isso a análise pode ser feita com wavelets diferentes de acordo com o resultado desejado.

A análise wavelet traz consigo uma análise em resoluções múltiplas, onde o nível de resolução é dado pelo índice a. Nesta análise em resoluções múltiplas, geramos uma sequência de subespaços encaixantes, onde as funções de base numa escala a_0 não "enxergam" detalhes de tamanho menor que 2^{-a_0}.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em geral a transformada contínua de wavelet é usada na análise de sinais, enquanto a sua versão discreta é usada na compressão de dados. Logo, a transformada discreta é usada em engenharia e ciência da computação, enquanto a transformada contínua é usada na pesquisa científica.

As transformadas de wavelet são hoje empregadas numa vasta gama de aplicações, substituindo com frequência a tradicional transformada de Fourier e também a transformada de Fourier de curto termo. Diversas áreas da física viram esta mudança de paradigma, incluindo a dinâmica molecular, cálculos ab initio, astrofísica, localização de matriz de densidade, geofísica sísmica, óptica, turbulência e mecânica quântica. Esta mudança também vem ocorrendo no processamento de imagem, análises de pressão sanguínea, ritmo cardíaco e ECG, análise de DNA e proteínas, climatologia, processamento de sinais em geral, reconhecimento de voz, computação gráfica e análise multifractal. Na visão computacional e no processamento de imagens a noção de escala de espaço e operadores de derivadas Gaussianas são vistos como representações multi-escalares canônicas.

Um uso que vem crescendo é na compressão de dados. Como outras transformadas (a Transformada discreta de cosseno sendo a mais comum), as transformações de wavelet podem ser usadas para transformar dados e codificar de forma eficiente os dados transformados, resultando em compressão. O padrão JPEG 2000 para compressão de imagens usa wavelets biortogonais. Isso quer dizer que o mesmo conjunto de funções pode ser usado tanto na transformada quanto na sua inversa.

Em análise de sinais, a transformada de wavelet possui as mesmas aplicações que a transformada de Fourier de curto termo, isto é, a análise de sinais não estacionários, mas elimina a principal desvantagem desta, que é o fato de a janela deslizante apresentar um tamanho fixo. Com isso, uma função que possui um suporte finito no domínio do tempo, como é o caso dos sinais físicos reais, possui um espectro cujo suporte é infinito no domínio da frequência. Em outras palavras, o sinal é localizado no tempo, mas seu espectro não é. O fato de a janela deslizante da transformada de wavelet possuir tamanho ajustável ao sinal analisado permite que o espectro de uma função local no tempo seja também local na frequência. Isso se comprova através da equação (4a), que mostra que os coeficientes do espectro decaem exponencialmente com a frequência.

Notas e referências[editar | editar código-fonte]

  1. Alguns autores empregam o fator de normalização |a|-1 em lugar de |a|, de forma a normalizar a amplitude em vez da energia.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • de Oliveira, Hélio Magalhães. ANALISE DE SINAIS PARA ENGENHEIROS: Uma abordagem via Wavelets. 1 ed. [S.l.]: BRASPORT, 2007. 268 pp. ISBN 9788574522838
  • de Oliveira, Hélio Magalhães. ANALISE DE FOURIER E WAVELETS: sinais estacionários e não estacionários. 1 ed. [S.l.]: Editora universitária UFPE, 2007. 342 pp. ISBN 9788573154177
  • Morettin, Pedro A.. ONDAS E ONDALETAS: Da Análise de Fourier à Análise de ondaletas. 1 ed. [S.l.]: edUSP, 1999. 276 pp. ISBN 8531405092
  • (em inglês) SALOMON, David. Data Compression: The Complete Reference. 2 ed. Nova Iorque: Springer, 2000.
  • SHENG, Yunlong. Wavelet Transform: cap. 10 - in Poularikas, A. - THE TRANSFORMS AND APPLICATIONS HANDBOOK. 2 ed. Boca Raton: CRC Press, 2000.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • M. J. Soares, Departamento de Matemática, Universidade do Minho, 4710 Braga, Portugal. Onduletas e Processamento de Sinal.
  • Termo usado por Pedro A. Morettin em MORETTIN, Pedro A.. Ondas e Ondaletas: da Análise de Fourier à Análise de Ondaletas. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1999.