Wronskiano

Na matemática, Wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de equações diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês Josef Wronski.

Dado um conjunto de funções f₁, f₂, ... f_n, define-se o Wronskiano de acordo com a matriz abaixo:

$W(f_1, \ldots, f_n) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$

O Wronskiano é o resultado do determinante dessa matriz quadrada, formada pelas funções na primeira linha, primeira derivada das funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivada das funções na n-ésima linha.

Wronskiano e independência linear

O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um intervalo dado. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo dado, as funções são linearmente independentes.

Esse conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo, na hora de verificar se as duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou independentes. Um erro muito comum é falar que as funções são linearmente dependentes quando W=0. Peano foi um dos primeiros a apontar a inconsistência desse fato ao mostrar que as funções f(x) = x² e g(x) = x|x|, que são linearmente independentes, tem o W=0. Algum tempo depois, Bôcher mostrou que existem infinitas funções que possuem essa mesma propriedade. Uma mostra de tal é dada no exemplo 3.

Exemplos

• Considere as funções $x^2,$ $x,$ e $1,$ definido para o conjunto dos números reais. O Wronskiano correspondente vale:

$W = \begin{vmatrix} x^2 & x & 1 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -2.$

Pode-se notar que W é diferente de zero para qualquer número real. Portanto, essas funções certamente são linearmente independentes.

• Considere as funções $2x^2+3$, $x^2$ e $1$. Existe uma clara dependência linar entre essas funções, já que $2x^2 + 3 = 2(x^2) + 3(1).$ Logo, o Wronskiano associado deve ser igual a zero:

$W = \begin{vmatrix} 2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\ 4x & 2x & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0.$

• Como foi dito acima, W=0 não quer dizer que as funções são linearmente dependentes. Considere as funções $x^3$ e $|x^3|$ (valor absoluto de $x^3$), que pode ser escrita como:

$|x^3| = \left\{ \begin{matrix} -x^3, & \mathrm{se} \; x < 0 \\ x^3, & \mathrm{se} \; x \geq 0 \end{matrix} \right.$

Pode-se perceber que essas funções são linearmente independentes, pois não existem constantes 'a' e 'b' tais que a.$x^3$ + b.$|x^3|$ = 0 para qualquer valor de x. Entretanto, seu Wronnskiano vale zero:

$W = \left\{ \begin{matrix} \begin{vmatrix} x^3 & -x^3 \\ 3x^2 & -3x^2 \end{vmatrix} = -3x^5 + 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x < 0 \\ \begin{vmatrix} x^3 & x^3 \\ 3x^2 & 3x^2 \end{vmatrix} = 3x^5 - 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x \geq 0 \end{matrix} \right.$

Ver também

• Equação diferencial ordinária

Ligações externas

• Artigo baseado no site PlanetMath. Apresenta licença GFDL.
• (em inglês)Mais sobre Wronskianos, de Paul's Online Math Notes