Wronskiano

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Na matemática, Wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de equações diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês Josef Wronski.

Dado um conjunto de funções f1, f2, ... fn, define-se o Wronskiano de acordo com o determinante:



W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
.

Este determinante é construído pondo as funções na primeira linha, as primeiras derivadas de cada função na segunda linha, assim procedendo até a derivada de ordem (n-1), formando assim um arranjo quadrado denominado matriz fundamental.

Wronskiano e independência linear[editar | editar código-fonte]

O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Este conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo na verificação se duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou independentes. Um erro muito comum é falar que as funções são linearmente dependentes quando W=0. Giuseppe Peano foi um dos primeiros a apontar a inconsistência desse fato ao mostrar que as funções f(x) = x² e g(x) = x|x|, que são linearmente independentes, tem o W=0. Algum tempo depois, Maxime Bôcher mostrou que existem infinitas funções que possuem essa mesma propriedade. Uma mostra de tal é dada no exemplo 3.

Exemplos[editar | editar código-fonte]


W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.
Pode-se notar que W é diferente de zero para qualquer número real. Portanto, essas funções certamente são linearmente independentes.
  • Considere as funções 2x^2+3, x^2 e 1. Existe uma clara dependência linar entre essas funções, já que 2x^2 + 3 = 2(x^2) + 3(1). Logo, o Wronskiano associado deve ser igual a zero:

W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.
  • Como foi dito acima, W=0 não quer dizer que as funções são linearmente dependentes. Considere as funções x^3 e |x^3| (valor absoluto de x^3), que pode ser escrita como:

|x^3| = \left\{
\begin{matrix}
-x^3, & \mathrm{se} \; x < 0 \\
x^3, & \mathrm{se} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.
Pode-se perceber que essas funções são linearmente independentes, pois não existem constantes a e b tais que a\cdot x^3+b\cdot|x^3|=0 para qualquer valor de x. Entretanto, seu Wronnskiano é zero:

W = \left\{
\begin{matrix}
  \begin{vmatrix}
  x^3 & -x^3 \\
  3x^2 & -3x^2
  \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x < 0 \\
  \begin{vmatrix}
  x^3 & x^3 \\
  3x^2 & 3x^2
  \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0, & \mathrm{se} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]