Lema do ping-pong
Em matemática, o lema do ping-pong (também conhecido como o lema da mesa de tênis ou lema de Macbeath) é um dos muitos métodos que permitem, através de uma ação de um grupo em um conjunto, concluir a existência de um produto livre de grupos (em alguns casos um grupo livre) como subgrupo do grupo dado.
História[editar | editar código-fonte]
O argumento por trás do lema do ping-pong remete ao século XIX e é geralmente atribuido[1] a Felix Klein quem o usou para o estudo de subgrupos de grupos Kleinianos , ou seja, subgrupos discretos do grupo de isometrias do espaço hiperbólico de dimensão 3 ou, de forma equivalente, transformações de Möbius da esfera de Riemann. O lema do ping-pong foi a ideia chave usada por Jacques Tits em seu artigo de 1972[2] contendo a demonstração do famoso resultado conhecido como alternativa de Tits. O resultado afirma que um grupo linear finitamente gerado é virtualmente solúvel ou contém um subgrupo livre de rank dois. O lema do ping-pong e suas variações são constantemente utilizados em topologia geométrica e teoria geométrica de grupos.
Versões modernas do lema do ping-pong podem ser vistas em vários livros como Lyndon&Schupp,[3] de la Harpe,[1] Bridson&Haefliger[4] e outros.
Descrição formal[editar | editar código-fonte]
Lema do ping-pong para vários subgrupos[editar | editar código-fonte]
Essa versão do lema do ping-pong enuncia que vários subgrupos de um grupo agindo em um conjunto geram um produto livre. O enunciado seguinte aparece em,[5] e a demonstração em.[1]
Sejam G um grupo agindo em um conjunto X e H1, H2,...., Hk subgrupos não triviais de G em que k≥2, tais que pelo menos um desse subgrupos tenha ordem maior que 2. Suponhamos que existam X1, X2,....,Xk subconjuntos disjuntos de X em que o seguinte vale:
- Para todo i≠s e para todo h∈Hi, h≠1 temos h(Xs)⊆Xi.
Então
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ a b c Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 25–41.
- ↑ J. Tits. Free subgroups in linear groups. Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270
- ↑ Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch II, Section 12, pp. 167–169
- ↑ Martin R. Bridson, and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9; Ch.III.Γ, pp. 467–468
- ↑ Andrij Olijnyk and Vitaly Suchchansky. Representations of free products by infinite unitriangular matrices over finite fields. International Journal of Algebra and Computation. Vol. 14 (2004), no. 5–6, pp. 741–749; Lemma 2.1