Último teorema de Fermat

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nasceu em 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, na França. O filho de Dominique Fermat e Claire de Long, frequentou a University of Orléans de 1623 a 1626. Casou -se com a prima de sua mãe, Loise de Long, em 1631, com a qual teve 3 filhos e 2 filhas.

Fermat era conhecido como "Príncipe dos Amadores", e compartilhava suas ideias matemáticas com matemáticos da época. Como seu pseudônimo diz, Fermat se tratava de um amador, e seus trabalhos e conceitos eram construídos em seus momentos de lazer. Provavelmente seu interesse pela Matemática se despertou ao conhecer a tradução de CG Bachet (1621), de Diofanto de Alexandria.

A Origem do Último Teorema de Fermat

Fermat costumava apresentar a outros matemáticos desafios, que os deixavam fascinados na tentativa de solucioná-los. Com o passar do tempo, foi se aperfeiçoando, o que o fez desenvolver uma proposição semelhante ao teorema de Pitágoras, porém não havia solução. Por se tratar de um amador, Fermat não tinha intenção de divulgar suas observações, porém seu filho mais velho encontrou vários de seus passatempos rabiscados em livros, como era de seu costume. A proposição se espalhou pelo mundo, e ficou conhecida como o Último Teorema de Fermat.

Solução do Teorema

Pierre de Fermat - Século XVII

Analisando observações sobre o Teorema de Pitágoras, Fermat observa a equação  x² +y² = z². Ao tentar substituir o expoente "2" pelo número "3", nota que não há solução. Prosseguiu substituindo o número que representava a pontência por números maiores que 3, e continuou sem obter solução. Com isso, chegou a uma equação generalizada, $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,\!$, em que n representa os números 3, 4, 5, ...que também não possuíam solução.

Fermat então escreveu:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.

Possivelmente, Fermat teria encontrado a solução para a proposição, pois este teria divulgado a seguinte nota:

“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”.

Foram aproximadamente 350 anos de tentativas de solucionar ou provar a incoerência do problema. Dentre os grandes matemáticos que tentaram solucionar o problema ao longo dos tempos, podemos mencionar: Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, Kummer e mais recentemente, Wagstaff (1980).

A primeira contribuição importante para o problema foi dada pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura, que embora não tivessem a intenção de solucionar o Teorema, acabaram contribuindo significativamente para tal.

A conjectura construída pelos dois matemáticos diz que, para cada equação elíptica, há uma forma modular correspondente. Isso implica que, se a mesma estivesse correta, ela poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat, provando a sua veracidade. Ou seja, para provar se o Último Teorema de Fermat era verdadeiro ou não, tornava-se necessário provar a conjectura Taniyama-Shimura, e foi o que Andrew Wiles fez.

Em 23 de junho de 1993, em uma Conferência no Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, Andrew Wiles, após 356 anos desde a apresentação do teorema, faz o anúncio da descoberta de sua demonstração. Infelizmente foi encontrada uma falha na demonstração, o que fez com que Andrew retomasse o tema, se afastando por um ano.

Em 1994, após corrigir o erro detectado, Andrew apresenta sua demonstração. Levaram alguns meses para analisar e finalmente aceitar a solução que possuía aproximadamente 200 páginas.

A demonstração perfeitamente técnica infelizmente era compreendida por poucos no mundo, porém fez com que Andrew entrasse para a história, sendo conhecido como o matemático que demonstrou o teorema mais desafiador da história da matemática, além de receber o prêmio de 50 mil libras.

Considerações Sobre o Teorema

Como mencionado, o Último teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça.

$x^{n}+y^{n}=z^{n}\,\!$.

A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números — abrangendo curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas (termo derivado de Évariste Galois, matemático francês) — as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat.

Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o teorema.

Ainda não é conhecida nenhuma aplicação deste teorema. Ele toma um valor importante, no entanto, devido às ideias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação $x^{n}+y^{n}=1$ quando $n>2$, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.

Extensão do Teorema de Pitágoras?

Para os primeiros dois valores de n inteiro existe uma infinidade de soluções: o caso n = 1 é evidente, o caso n = 2 — conhecido como teorema de Pitágoras — admite, entre outras, a solução clássica $4^{2}+3^{2}=5^{2}$ que utiliza o método do círculo. Outras soluções podem ser encontradas usando-se o esquema:

$\left({a^{2}-b^{2}}\right)^{2}+\left({2ab}\right)^{2}=\left({a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\,\!$,

para todos a, b inteiros primos entre si, sendo que outras soluções são encontradas multiplicando-se a e b por um número inteiro. Os números que satisfazem o Teorema de Pitágoras são chamados de trios pitagóricos (ou ternos pitagóricos).

O Último Teorema de Fermat e a Literatura

Propiciando notáveis avanços em vários ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está descrita no livro “O Último Teorema de Fermat”, do autor britânico Simon Lehna Singh, com 324 páginas

O Último Teorema de Fermat também é citado no livro "O Teorema do Papagaio", do autor Denis Guedj, onde um matemático em meio a floresta amazônica diz ter encontrado a resolução do teorema, mas que o destruiu antes de sua morte, citando matemáticos famosos desde a antiguidade que também tentaram a resolução do mesmo problema, que começou com x³+y³=z³ ainda no tempo da Antiga Grécia, o livro apresenta como a matemática veio se desenvolvendo até chegar no ponto em que está atualmente.

Ligações externas

• «Bluff your way in Fermat's Last Theorem» (em inglês)