Problema de matemática em aberto :
A menos de uma quantidade finita de exceções, todo intervalo
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle [x^{m},y^{n}]}
com x , y , m , n ∈ {2, 3, 4, ...} contém ao menos um número primo ?
A Conjectura de Redmond-Sun é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos , proposta por Stephen Redmond e Zhi-Wei Sun em 2006 .[ 1]
A conjectura afirma que todo intervalo [x m , y n ] com x , y , m , n ∈ {2, 3, 4, ...} contém números primos , com uma quantidade finita de exceções.
Para exemplificar, tomemos o intervalo [2 3 , 5 4 ] = [8, 625]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617 e 619.
Portanto, este intervalo contém 110 números primos. [ 1]
Outro exemplo pode ser visualizado tomando o intervalo [529 2 , 6 7 ] = [279841 , 279936 ]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:
279847, 279857, 279863, 279883, 279913 e 279919. [ 2]
Portanto, o intervalo [529 2 , 6 7 ] contém 6 números primos.
A conjectura propõe que o intervalo [x m , y n ] sempre possui números primos, a menos de finitas exceções. Essas exceções são as seguintes:
[
2
3
,
3
2
]
,
[
5
2
,
3
3
]
,
[
2
5
,
6
2
]
,
[
11
2
,
5
3
]
,
[
3
7
,
13
3
]
,
{\displaystyle [2^{3},\,3^{2}],\ [5^{2},\,3^{3}],\ [2^{5},\,6^{2}],\ [11^{2},\,5^{3}],\ [3^{7},\,13^{3}],}
:
[
5
5
,
56
2
]
,
[
181
2
,
2
15
]
,
[
43
3
,
282
2
]
,
[
46
3
,
312
2
]
,
[
22434
2
,
55
5
]
.
{\displaystyle [5^{5},\,56^{2}],\ [181^{2},\,2^{15}],\ [43^{3},\,282^{2}],\ [46^{3},\,312^{2}],\ [22434^{2},\,55^{5}].}
Não se sabe se existem outras exceções além das citadas acima.[ 1]
A função
R
S
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}}
[ editar | editar código-fonte ]
Quantidade de primos no intervalo [2 m , 3 n ], para m ,n positivos menores ou iguais a 5.
Pode-se interpretar a conjectura de outra forma a partir da definição de uma função
R
S
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}}
que associa a cada intervalo a quantidade de primos contida no mesmo. Por exemplo,
R
S
[
2
3
,
3
2
]
=
0
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[2^{3},3^{2}]}=0}
R
S
[
2
4
,
3
3
]
=
3
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[2^{4},3^{3}]}=3}
R
S
[
2
3
,
5
4
]
=
110
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[2^{3},5^{4}]}=110}
R
S
[
8
7
,
7
8
]
=
242153
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[8^{7},7^{8}]}=242153}
[ 3]
O gráfico mostra a quantidade de primos no intervalo [2 m , 3 n ], para m ,n menores ou iguais a 5.
A partir da definição da função
R
S
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}}
, pode-se formular a conjectura do seguinte modo: A função
R
S
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}}
possui uma quantidade finita de raízes .
A função
R
S
[
x
m
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}}
pode também ser interpretada como uma função de 4 variáveis inteiras positivas
R
S
(
x
,
y
,
m
,
n
)
{\displaystyle {\mathcal {RS}}(x,y,m,n)}
, e utilizando a função de distribuição dos números primos , pode ser definida explicitamente como:
R
S
(
x
,
y
,
m
,
n
)
=
π
(
y
n
)
−
π
(
x
m
)
{\displaystyle {\mathcal {RS}}(x,y,m,n)=\pi (y^{n})-\pi (x^{m})}
(i)
E pode-se ainda criar outra formulação da conjectura com base exclusivamente na função
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
. Uma vez que as raízes de
R
S
(
x
,
y
,
m
,
n
)
{\displaystyle {\mathcal {RS}}(x,y,m,n)}
são as quádruplas
(
x
,
y
,
m
,
n
)
{\displaystyle (x,y,m,n)}
que satisfazem
R
S
(
x
,
y
,
m
,
n
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {RS}}(x,y,m,n)=0}
(ii) ,
temos substituindo (ii) em (i) que:
0
=
π
(
y
n
)
−
π
(
x
m
)
→
π
(
y
n
)
=
π
(
x
m
)
{\displaystyle 0=\pi (y^{n})-\pi (x^{m})\rightarrow \pi (y^{n})=\pi (x^{m})}
Então, pode-se enunciar a conjectura de Redmond-Sun da seguinte forma: A igualdade
π
(
y
n
)
=
π
(
x
m
)
{\displaystyle \pi (y^{n})=\pi (x^{m})}
possui uma quantidade finita de soluções para x,y,m,n
∈
Z
+
{\displaystyle \in \mathbb {Z} _{+}}
(nos inteiros estritamente positivos).
A conjectura já foi verificada para intervalos [x m , y n ] menores que 1012 .
A conjectura inclui a Conjectura de Catalan e a Conjectura de Legendre como casos especiais. Também possui relações com a conjectura abc , como mostrado por Carl Pomerance .
Referências
Por fórmula
Fermat
(
2
2
n
+
1
)
{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}
Mersenne
(
2
p
−
1
)
{\displaystyle (2^{p}-1)}
Duplo de Mersenne
(
2
2
p
−
1
−
1
)
{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}
Wagstaff
(
2
p
+
1
)
3
{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}
Proth
(
k
⋅
2
n
+
1
)
{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}
Factorial
(
n
!
±
1
)
{\displaystyle (n!\pm 1)}
Primorial
(
p
n
#
±
1
)
{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}
Euclides
(
p
n
#
+
1
)
{\displaystyle (p_{n}\#+1)}
Pitagórico
(
4
n
+
1
)
{\displaystyle (4n+1)}
Pierpont
(
2
u
⋅
3
v
+
1
)
{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}
Solinas
(
2
a
±
2
b
±
1
)
{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}
Cullen
(
n
⋅
2
n
+
1
)
{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}
Woodall
(
n
⋅
2
n
−
1
)
{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}
Cubano
(
x
3
−
y
3
)
(
x
−
y
)
{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}
Carol
(
2
n
−
1
)
2
−
2
{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}
Kynea
(
2
n
+
1
)
2
−
2
{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}
Leyland
(
x
y
+
y
x
)
{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}
Thabit
(
3
⋅
2
n
−
1
)
{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}
Mills (chão
(
A
3
n
)
{\displaystyle (A^{3^{n}})}
)
Por sequência de inteiros Por propriedade Dependentes de bases Padrões
Gémeos
(
p
,
p
+
2
)
{\displaystyle (p,p+2)}
Tripla
(
p
,
p
+
2
o
u
p
+
4
,
p
+
6
)
{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}
Quádrupla
(
p
,
p
+
2
,
p
+
6
,
p
+
8
)
{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}
Tuplo
Primos primos
(
p
,
p
+
4
)
{\displaystyle (p,p+4)}
Sexy
(
p
,
p
+
6
)
{\displaystyle (p,p+6)}
Chen
Sophie Germain
(
p
,
2
p
+
1
)
{\displaystyle (p,2p+1)}
Cadeia de Cunningham
(
p
,
2
p
±
1
,
…
)
{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}
Seguro
(
p
,
(
p
−
1
)
2
)
{\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}
Progressão aritmética
(
p
+
a
⋅
n
,
n
=
0
,
1
,
…
)
{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}
Equilibrado (consecutivos
p
−
n
,
p
,
p
+
n
)
{\displaystyle p-n,p,p+n)}
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