Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:
![{\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39690af275f1115a90d7244c81257c03a2ec19f4)
e
![{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f69c3f75b924b738b8d5b5a777c3a793240dee9)
com
e
funções diferenciáveis e integráveis.
O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]
Suponha que as funções
e
, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa
.
Então, a equação
![{\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39690af275f1115a90d7244c81257c03a2ec19f4)
é uma equação diferencial exata em
se, e só se,
(1)
em cada ponto de R.
Isto é, existe uma função
que satisfaz as equações,
![{\displaystyle {\frac {\partial F(x,y)}{\partial x}}=M(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8fbf474bbf247c67dc0bde2052908b6cc3954a)
![{\displaystyle {\frac {\partial F(x,y)}{\partial y}}=N(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d08c1b14a1872858225abc9b0e8c2d7395b10c)
se, e só se,
e
satisfazem (1), pois[2]
Uma equação diferencial ordinária do tipo
é equivalente a
, pois
Se ela for uma equação exata, teremos que
.
Então podemos supor que há uma função
de modo que
.
Assim, para obter essa função basta integrar
em relação a
.
. Note-se que
é a constante de integração, e como não depende de
,
.
Agora podemos derivar
na direção de
supondo que
. Assim, obtemos:
.
Isolando
temos:
Então, por fim, integramos
na direção de
, de modo a obter:
Ou seja
E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita
[1]
Resolvamos a equação Diferencial Ordinária
.
Temos:
,
onde
e
.
Logo,
, donde se conclui que é exata.
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:
.
Integrando em relação a x:
, em que f(y) é uma função de y.
Além disso,
. Então
.
Integrando em relação a y, temos:
, c constante.
Logo, pelo corolário, a função F é:
![{\displaystyle F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e04a35effc9c895df0254878cce8a1d78e6a77f)
A solução da equação diferencial exata é
ou seja
![{\displaystyle x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0672e58d0e55da4f989af941de5a268cf990c4)
Considere uma função diferenciável
da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
![{\displaystyle dz={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcb87052e42c0bc8d9e80e82c2c5a7003ef048f)
A expressão que deu origem à equação,
, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante
equivale a resolver o sistema de equações:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}z=C\\z=F(x,y)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c1c7c4ba3904cc920df278dfaf55c6e1cfd8ec)
Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano
então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio
de
que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo
![{\displaystyle F(x,y)=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7617851e05384c0a42d07bf9c1bf7af4d1e448)
Diferenciando esta última equação, obtemos:
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f4ce5292ec1d85cd1ff0b67238ac197ab63a69)
Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é
![{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04b0dc2802297f90679fe0eaf71002d5db2dd45)
Esta equação é dita exata se existe uma função
tal que
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir
a partir de suas derivadas parciais.
Referências
- ↑ a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9
- Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8