Cálculo |
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Cálculo integral
Definições
Integração por
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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.
Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria
É fácil de perceber, que as funções
e
podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:
![{\displaystyle cos^{2}\theta \ =1-sen^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a04a1c22b1623a339184df8bef7d9d522a68909)
![{\displaystyle sen^{2}\theta \ =1-cos^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bce95d009ca7865c717b11424ec62cd51a0ddf3)
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por
![{\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fc57cfbc77d928fec4081a692e145e0d1626fd)
![{\displaystyle {\frac {sen^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}+{\frac {cos^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}={\frac {1}{cos^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f5d3918e1a3da3ae29803410a485dfb55de8b)
Resultando em:
![{\displaystyle tan^{2}\theta \ =sec^{2}\theta \ -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faeb2fc3a250d191e6638ff212e661dda54bd784)
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:
![{\displaystyle 1-sen^{2}\theta \ =cos^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d279451bbb7e8082a658fe96b97c5058a26191)
para
![{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac5221f5b3e35f1befb0da8c656b5b5081a0e6c)
, sendo a uma constante positiva.
![{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5259876ff4010c2daf41e533db385abcd5b1f5)
para
![{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc5e41865074c2469f195b20507a26d727e15f0)
, com a > 0
![{\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35021312a1d0c3239b72fc56874f5be0ea3666c4)
para
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984305b08f08133c11af282501ed215c88b637c0)
, sendo a maior do que zero, constante.
Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.
![{\displaystyle u=\phi \ (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6884c6c3aade88d724a361d430db7cc63f4b7c3f)
![{\displaystyle x=\phi \ ^{-1}(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fc47b3a4f8d05b58044cd925f56d3e3fa2fdd0)
,
![{\displaystyle \int f(x)dx=\int f(u)[\phi \ ^{-1}]'(u)du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104c2e6bad19bf14bf3ca0aedaff9d8898bdd9b)
Considere a integral
usando a substituição
, obtêm-se
![{\displaystyle \int {\sqrt {16(1-sen^{2}\theta )}}4\ cos\theta \ d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3ce544a52e4617a80d57ae6f09150557d71624)
![{\displaystyle 16\int \ cos^{2}\theta \ d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7951be0d2593a990473714bd6fad5bb9c5619e6f)
A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes
![{\displaystyle u=cos\theta ,dv=cos\theta \ d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c25a0a803e09e646665beb67fa2c63970d983)
![{\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int sen^{2}\theta \ d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8d5b3b041cf185c4f77d8d7cad523f9717afc3)
![{\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int 1\ d\theta -\int cos^{2}\theta \ d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55efc8b18a9c217290ab2eb9a9355d2791d829)
![{\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6535272aaeac5f7eda34ffc3acb0fdebe05786)
Voltando a equação original
![{\displaystyle 16\int cos^{2}\theta \ d\theta =16\left({\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b15b03f6ddde3ba8ebaaa961588ca30810dce61)
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo
para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a
igual a
, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo
valerá
. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
![{\displaystyle cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99d6bf926e202e515f50704a0daa3abcfaf9f11)
![{\displaystyle sen\theta ={\frac {x}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331ece2fe7cb4845757d73952ad4678c87d53c30)
O ângulo
pode ser expresso como
Obtendo assim como resposta final: