Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.
Seja
um espaço métrico completo não vazio com uma métrica
.
Uma aplicação
é dita uma contração uniforme, se existir uma constante
tal que:
![{\displaystyle d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y),\forall x,y\in \mathbb {X} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030e695c1d1d450e9fd42009b9fd54d474ce61cf)
O teorema estabelece que existe um único ponto fixo
, ou seja:
![{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56da141b6e0f91cbfc4b324b89ea9374097b7b5)
Sejam
e
pontos fixos de
, então:
![{\displaystyle d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3bc90d8a2405cdd2bb07620109134e61307e90)
![{\displaystyle d(x,y)\leq \beta d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d30d3f00d44910a460e1f76649af969e9078496)
![{\displaystyle (1-\beta )d(x,y)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4f04cfac00e9b8d53de6353bcf9f6fa1bf36b0)
Como
, então
. Como sabemos que
, temos
, o que implica
.
Escolha um ponto qualquer
e construa a seqüência:
![{\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3747129d840001214f8a4ea99e565d87482ef10)
Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:
![{\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a6ed7e06bf3ea34689b669b8b0899974d1b03f)
Agora usando a definição de contração temos:
![{\displaystyle d(x_{n+j},x_{n+j-1})\leq \beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c07451de8d6433a17c87a09803de43e5a67f2eb)
De forma que:
![{\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}\beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)\leq d(x_{1},x_{0})\beta ^{n}\sum _{j=1}^{\infty }\beta ^{j-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88ba8f50414a0d084f264a87730f4c4dc5a615)
Assim a
é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto
Devemos mostrar que
é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:
![{\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a57b791d96da6f12fa79ca0c5ec70dfaf77494e)
Passando ao limite, usando a continuidade de
(o que segue da própria definição de contração), temos:
![{\displaystyle x^{*}=f(x^{*})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feabf2d70a6b311fbcb8d7692ae5803964a6b9e9)
E o resultado segue.