No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções.[1][2] Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.
Considere a seguinte integral:
![{\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f0272ef0b401cad58c129463a758603fc894a4)
A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis
. Desta forma,
o que, substituindo na integral acima, fornece:
![{\displaystyle \int f(u)du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d009a7455fa65450029b6eddc29f7a8ebb8caf)
Esta técnica é consequência da regra da cadeia para derivadas.[1]
Considere-os:
Tomando
, temos
. Segue que:
.
A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:[1][2]
.
Para integrais definidas, a fórmula análoga é:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860cd49e9a8bdb07095c57d5ede0f6ea42d487d)
Considere a integral definida:
.
Tomando:
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=\ln(x)&\Rightarrow du={\frac {1}{x}}dx\\dv=xdx&\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab0ec340f054d3af61a7ad32031c6b33433c1b7)
Seque, da integração por partes que:
.
As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma
,
, ou
. Nestes casos, as substituições sugeridas são:[1][2]
Expressão
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Substituição
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Elemento infenitesimal
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Expressão resultante
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Considere a integral
. Usando a substituição
, obtem-se
. Segue que:
.
A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:
,
,
temos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}\theta \ d\theta &=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int {\text{sen}}^{2}\theta \ d\theta \\&=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int d\theta -\int \cos ^{2}\theta \ d\theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2834fdcfa63493bd814f0cae9995881be0cb397a)
![{\displaystyle \Rightarrow \int \cos ^{2}\theta \ d\theta ={\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1055bb92558378a6ca80e3ba8f41144339fe3676)
Daí, segue que:
![{\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx=16\left({\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435a5a1e8f5cbddaaf19ab9e45c288162aa33e2c)
Da substituição feita
concluímos que:
![{\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx={\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{\text{arc sen }}{\frac {x}{4}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffa7cc5c9192d3e75b387f7baf80898cb1791af)
onde,
é uma constante indeterminada.
A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais.[1][2][3] Considere:
![{\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e04717a45f0644ad0d60c3481eaddf9d2bc8fdb)
onde,
e
são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios
e
tais que:
![{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a2b43774f7b08eb4322a86177f7ac86aa2bba)
sendo
um polinômio de grau menor que
.
O método segue da fatoração de
em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:
.
Com isso, podemos encontrar constantes
,
e
tais que:
.
Em resumo, temos:
![{\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx=\int S(x)\,dx+\int {\frac {R(x)}{Q(x)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec58b21e234787c239865564462e718c504f40ce)
que consiste na integração do polinômio
e de uma série de funções racionais das formas
ou
. As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.
Considere:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b6a4be61e79ea64abeb322cad480c0884bea11)
Temos
, logo:
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-5x}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5ede070fbcedded7519f814fcfaf14dcee8366)
donde encontramos que
, i.e.
e
. Daí:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx&=-{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x}}+{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x-5}}&=-{\frac {1}{5}}\ln |x|+{\frac {1}{5}}\ln |x-5|+C&={\frac {1}{5}}\ln \left|{\frac {x-5}{x}}\right|+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d852fc857002c0358fe22a17d029fc29dc188853)
Referências
- ↑ a b c d e Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256
- ↑ a b c d Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586
- ↑ Leithold, Louis (1994). O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 1 3 ed. [S.l.]: HARBRA. ISBN 8529400941