Índice de Atkinson

O índice de Atkinson (também conhecido como medida de Atkinson ou medida de desigualdade de Atkinson) é uma medida de desigualdade de renda desenvolvida pelo economista britânico Anthony Barnes Atkinson^[1]. A medida é útil para determinar qual extremidade da distribuição contribuiu mais para a desigualdade observada^[2]. Além disso, é valioso por sua transparência filosófica, forçando os analistas a refletirem sobre os pressupostos normativos de suas análises de desigualdade^[2]^[3]^[4].

Definição

O índice de Atkinson é definido como:

A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{para}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{para}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{para}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}

onde $y_{i}$ é a renda individual (i = 1, 2, ..., N) e $\mu$ é a renda média.

Em outras palavras, o índice de Atkinson é o complemento de 1 da razão entre a média generalizada de Hölder do expoente 1−ε e a média aritmética das rendas (onde, como de costume, a média generalizada do expoente 0 é interpretada como a média geométrica).

Interpretação

A Classe de Medidas de Atkinson, proposta por Anthony Atkinson em 1970^[1], representa um conjunto de medidas de desigualdade que se destacam por tornar explícito o julgamento de valor do analista sobre a desigualdade. Ao contrário de outras medidas, que têm um julgamento de valor implícito, as medidas de Atkinson incorporam um parâmetro de "aversão à desigualdade" (geralmente ϵ ou ρ) como uma medida normativa explícita. Este parâmetro permite ao pesquisador expressar o quanto a sociedade (ou a política) se preocupa com as diferenças de renda entre os indivíduos.

A ideia por trás dessas medidas é o conceito de "nível de renda equivalente". Isso significa que o mesmo nível de bem-estar de uma sociedade rica, mas desigual, poderia ser alcançado em uma sociedade mais pobre, mas perfeitamente igualitária (Medeiros, 2012, p. 136)^[2]. A medida de Atkinson quantifica a perda de bem-estar social devido à desigualdade. Ela é definida como: A=1−yˉy∗ Onde A é a medida de Atkinson, y∗ é a renda média da distribuição igualitária hipotética (a "renda igualmente distribuída equivalente"), e yˉ é a renda média da distribuição observada.

Assim, o índice pode ser transformado em uma medida normativa impondo um coeficiente ε para ponderar as rendas. Uma maior ponderação pode ser atribuída às mudanças em uma determinada parcela da distribuição de renda, escolhendo ε, o nível de "aversão à desigualdade", apropriadamente. O índice de Atkinson se torna mais sensível a mudanças na extremidade inferior da distribuição de renda à medida que ε aumenta. Por outro lado, à medida que o nível de aversão à desigualdade cai (ou seja, à medida que ε se aproxima de 0), o índice de Atkinson se torna menos sensível a mudanças na extremidade inferior da distribuição. O índice de Atkinson é, para nenhum valor de ε altamente sensível às rendas mais altas devido à restrição comum de que ε não é negativo.^[2]

O parâmetro de Atkinson ε é frequentemente chamado de "parâmetro de aversão à desigualdade", uma vez que regula a sensibilidade das perdas implícitas de bem-estar social decorrentes da desigualdade de renda, medida por algum índice de entropia generalizada correspondente. O índice de Atkinson é definido em referência a uma função de bem-estar social correspondente, onde a renda média multiplicada por um menos o índice de Atkinson fornece o equivalente em bem-estar à renda igualmente distribuída. Assim, o índice de Atkinson fornece a parcela da renda corrente que poderia ser sacrificada, sem reduzir o bem-estar social, se a desigualdade perfeita fosse instituída. Para ε = 0, (sem aversão à desigualdade), o bem-estar social marginal da renda é invariante à renda, ou seja, aumentos marginais na renda produzem tanto bem-estar social para um indivíduo pobre ou rico. Nesse caso, o equivalente em bem-estar à renda igualmente distribuída é igual à renda média, e o índice de Atkinson é zero. Em suma:

Interpretação do Parâmetro de Aversão (ϵ ou ρ):

Um valor de ϵ (ou ρ) igual a zero indica total indiferença à desigualdade; o que importa é apenas a renda média.
Valores positivos indicam preocupação com a desigualdade. Quanto maior o valor, maior a aversão e maior o peso atribuído às rendas mais baixas. Uma aversão elevada implica que um pequeno ganho para uma pessoa muito pobre contribui muito mais para o bem-estar social total do que um grande ganho para uma pessoa rica (Medeiros, 2012, p. 122)^[2].
Medeiros (2012, p. 142)^[2] ilustra que um ϵ=2 pode significar que são aceitáveis perdas de até 75% dos recursos em uma transferência para que ela gere maior igualdade.

Propriedades

O índice de Atkinson satisfaz as seguintes propriedades:

O índice é simétrico em seus argumentos: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})$ para qualquer permutação $\sigma$ .
O índice não é negativo e é igual a zero somente se todas as rendas forem iguais: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0$ se $y_{i}=\mu$ para todos $i$ .
O índice satisfaz o princípio das transferências: se uma transferência $\Delta >0$ i é feito por um indivíduo com renda $y_{i}$ para outro com renda $y_{j}$ tal como $y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta$ , então o índice de desigualdade não pode aumentar.
O índice satisfaz o axioma da replicação da população: se uma nova população é formada pela replicação da população existente um número arbitrário de vezes, a desigualdade permanece a mesma: $A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})$
O índice satisfaz o axioma da independência média, ou homogeneidade de renda: se todas as rendas forem multiplicadas por uma constante positiva, a desigualdade permanece a mesma: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})$ para qualquer $k>0$ .
O índice é decomponível em subgrupos (não aditivamente) e o índice de entropia generalizada (GE) correspondente é decomponível em subgrupos aditivamente.^[5] Isso significa que a desigualdade geral na população pode ser calculada como a soma dos índices GE correspondentes dentro de cada grupo e o índice GE das rendas médias do grupo: $GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})$

onde

g

grupos de índices,

i

, indivíduos dentro de grupos,

\mu _{g}

é a renda média no grupo

g

, e os pesos

w_{g}

dependendo de

\mu _{g},\mu ,N

and

N_{g}

. A classe dos índices de desigualdade aditivamente decomponíveis é muito restritiva; na verdade, apenas os índices de entropia generalizada são aditivamente decomponíveis. Muitos índices populares, incluindo o índice de Gini, não satisfazem essa propriedade.

Ver também

Referências

↑ ^a ^b Atkinson, Anthony B (setembro de 1970). «On the measurement of inequality». Journal of Economic Theory (em inglês) (3): 244–263. doi:10.1016/0022-0531(70)90039-6. Consultado em 24 de julho de 2025
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Medeiros, Marcelo (2012). Medidas de desigualdade e pobreza 1a edição ed. Brasília, DF: Editora UnB |acessodata= requer |url= (ajuda) !CS1 manut: Texto extra (link)
↑ SEN, Amartya. Desigualdade reexaminada. Rio de Janeiro: Record, 2008.
↑ Kerstenetzky, Celia Lessa (fevereiro de 2000). «Desigualdade e pobreza: lições de Sen». Revista Brasileira de Ciências Sociais: 113–122. ISSN 0102-6909. doi:10.1590/S0102-69092000000100008. Consultado em 24 de julho de 2025
↑ Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613–625, doi:10.2307/1913126

[:1-1] Atkinson, Anthony B (setembro de 1970). «On the measurement of inequality». Journal of Economic Theory (em inglês) (3): 244–263. doi:10.1016/0022-0531(70)90039-6. Consultado em 24 de julho de 2025

[:4-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Medeiros, Marcelo (2012). Medidas de desigualdade e pobreza 1a edição ed. Brasília, DF: Editora UnB |acessodata= requer |url= (ajuda) !CS1 manut: Texto extra (link)

[:2-3] SEN, Amartya. Desigualdade reexaminada. Rio de Janeiro: Record, 2008.

[:3-4] Kerstenetzky, Celia Lessa (fevereiro de 2000). «Desigualdade e pobreza: lições de Sen». Revista Brasileira de Ciências Sociais: 113–122. ISSN 0102-6909. doi:10.1590/S0102-69092000000100008. Consultado em 24 de julho de 2025

[5] Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613–625, doi:10.2307/1913126

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