Adição

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Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png

Adição é uma das operações básicas da aritmética.[1][2] Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado.[1] Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades importantes[editar | editar código-fonte]

  • Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação.[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 3 + 2 = 5.
  • Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.[1] Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, então 2 + (3 + 1) = 6.
  • Distributiva: A ordem em que as operações são efetuadas, podem ser trocadas.
  • Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é denomindado como o "elemento neutro" da adição.[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 2 + 3 + 0 = 5.
  • Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.[1]

Notação[editar | editar código-fonte]

Símbolo matemático da soma.

Se os termos, ou somandos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

Podemos substituir de forma similiar m por infinito negativo, e

para algum m, desde que ambos os limites existam.

Relações com outras operações e constantes[editar | editar código-fonte]

É possível somar menos que 2 números

  • Se você somar o termo único x, então a soma é x.
  • Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

Somas úteis[editar | editar código-fonte]

As identidades a seguir são bastante úteis:

 (ver séries aritméticas);
 (ver séries geométricas);
 (caso especial do anterior em que )
 (caso especial do anterior, );
 (ver coeficiente binomial);

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

onde é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

 para toda constante real c maior que -1;
  para toda constante real c maior que 1;
  para toda constante real c maior ou igual a zero;
  para todas constantes reais não-negativas c e d;
  para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais[editar | editar código-fonte]

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:

Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música[editar | editar código-fonte]

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"
ré♯ mi fá♯ sol sol♯
dó♯ si lá♯ sol♯
Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, , é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna , em que todas as díades somam 6.

Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11
sol ré♯ lá♯ mi♯
si mi sol♯ dó♯ fá♯
Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f Novaes, Jean Carlos. «Adição e Suas Propriedades Fundamentais na Matemática». Matemática Básica. Consultado em 9 de junho de 2018. 
  2. Silva, Luiz Paulo Moreira. «Adição». Brasil Escola. Consultado em 9 de junho de 2018. 
  • Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Addition».