Algoritmo de Liu Hui para π

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
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Método de Liu Hui para calcular a área de um círculo

O algoritmo de Liu Hui para π foi inventado por Liu Hui (fl. século III), um matemático do império de Cao Wei. Antes de sua época, a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro era muitas vezes tomada experimentalmente como três na China, enquanto Zhang Heng (78-139) a representava como sendo 3,1724 (da proporção do círculo celeste com o diâmetro da Terra, 92/29) ou como $\pi \approx {\sqrt {10}}\approx 3,162$. Liu Hui não ficou satisfeito com este valor. Ele comentou que ele era muito grande e ultrapassava a marca. Outro matemático, Wang Fan (228-266), forneceu $\pi \approx 142/45\approx 3,156$. Todos esses valores empíricos para π eram precisos para dois dígitos (ou seja, uma casa decimal). Liu Hui foi o primeiro matemático chinês a fornecer um algoritmo rigoroso para o cálculo de π para qualquer precisão. O próprio cálculo de Liu Hui com um polígono de 96 lados forneceu uma precisão de cinco dígitos: π ≈ 3,1416.

Liu Hui observou em seu comentário no Os nove capítulos da arte matemática, que a relação do perímetro de um hexágono inscrito com o diâmetro da circunferência era três, então π deve ser maior que três. Ele passou a fornecer uma descrição detalhada passo-a-passo de um algoritmo iterativo para calcular π com qualquer precisão estabelecida com base em bisseção de polígonos; ele calculou π entre 3,141024 e 3,142708 com um polígono de 96 lados; ele sugeriu que 3,14 era uma aproximação boa o suficiente, e expressou π como 157/50; ele admitiu que este número era um pouco pequeno. Inventou mais tarde um engenhoso método rápido para melhorá-lo, e obteve π ≈ 3,1416 com apenas um polígono de 96 lados, com uma precisão comparável à de um polígono de 1536 lados. Sua contribuição mais importante nessa área foi seu algoritmo simples iterativo para π.

Área de um círculo

A área no interior de um círculo é igual ao raio multiplicado por metade da circunferência, ou A = r x C/2 = r x r x π.

Liu Hui argumentou:

"Multiplique um lado de um hexágono pelo raio (de sua circunferência circunscrita), e então multiplique este resultado por três, para obter a área de um dodecágono; se cortarmos um hexágono em um dodecágono, multiplicarmos seu lado pelo seu raio e, novamente, multiplicarmos por seis, obtemos a área de um polígono de 24 lados; quanto mais fino cortamos, menor a perda em relação à área do círculo, portanto, com mais corte após corte, a área do polígono resultante coincidirá e se tornará uma com o círculo; não haverá perda".

Aparentemente, Liu Hui já havia dominado o conceito do limite

$\lim _{N\to \infty }$ área do polígono de $N$ lados = área do círculo.

Também, Liu Hui provou que a área de um círculo é metade de seu perímetro multiplicado por seu raio. Ele registrou:

"Entre um polígono e um círculo, há excesso de raio. Multiplique o excesso de raio por um lado do polígono. A área resultante excede o limite do círculo".

No diagrama d = excesso de raio. Multiplicando d por um lado resulta no oblongo ABCD que excede o limite do círculo. Se um lado do polígono é pequeno (i.e. existe um número muito grande de lados), então o excesso do raio é pequeno, então o excesso na área será pequeno.

Como visto no diagrama, quando N → ∞, d → 0, e ABCD → 0.

"Multiplique o lado de um polígono pelo seu raio, e a área duplica; portanto, multiplique metade do perímetro pelo raio para obter a área do círculo".

Quando N → ∞, metade do perímetro do polígono de N lados aproxima um semicírculo, assim metade do perímetro de um círculo multiplicada por seu raio é igual à área do círculo. Liu Hui não explicou em detalhes esta dedução. No entanto, é evidente usando o "princípio do complemento in-out" de Liu Hui, que ele forneceu nos nove capítulos sobre a arte matemática: recortar uma forma geométrica em partes, reorganizar as partes para formar outra forma, a área das duas formas serão idênticas.

Assim, rearranjando os seis triângulos verdes, três triângulos azuis e três triângulos vermelhos em um retângulo com largura = 3L e altura R mostra que a área do dodecágono = 3RL.

Em geral, multiplicar metade do perímetro de um N-polígono pelo seu raio produz a área de um 2N-polígono. Liu Hui usou este resultado repetidamente em seu algoritmo π.

Desigualdade π de Liu Hui

Desigualdade π de Liu Hui

Liu Hui provou uma desigualdade envolvendo π considerando a área de polígonos inscritos com lados N e 2N.

No diagrama, a área amarela representa a área de um N-polígono, denotada por $A_{N}$, e a área amarela mais a área verde representa a área de um 2N-polígono, denotada por $A_{2N}$. Portanto, a área verde representa a diferença entre as áreas do 2 N-polígono e do N-polígono:

$D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.$

A área vermelha é igual à área verde, e assim também é $D_{2N}$. Então

área amarela + área verde + área vermelha = $A_{2N}+D_{2N}.$

Seja $A_{C}$ a área do círculo. Então

$A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.$

Se o raio da circunferência é assumido ser 1, então obtemos a desigualdade de Liu Hui:

$A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.$

Algoritmo iterativo

Algoritmo de Liu Hui para π

Liu Hui começou com um hexágono inscrito. Seja M o comprimento de um lado AB do hexágono, r o raio do círculo.

Bisseccionando AB com a linha OPC, AC torna-se um lado do dodecágono (12-polígono), seja seu comprimento m. Seja o comprimento de PC j e o comprimento de OP G.

AOP, APC são dois triângulos retângulos. Liu Hui usou o teorema de Gou Gu repetitivamente:

${}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}$

${}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}$

${}j=r-G=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}$

${}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}$

${}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}$

${}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}$

${}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}$

A partir daqui, existe agora uma técnica para determinar m de M, que dá o comprimento do lado de um polígono com o dobro do número de arestas. Começando com um hexágono, Liu Hui pode determinar o comprimento lateral de um dodecágono usando esta fórmula. Então continue repetidamente para determinar o comprimento lateral de um 24-polígono, dado o comprimento lateral de um dodecágono. Ele poderia fazer isso de forma recursiva quantas vezes fosse necessário. Sabendo como determinar a área destes polígonos, Liu Hui poderia então aproximar π.

Com $r=10$ unidades, ele obteve

área do 48-polígono ${}A_{96}=313{584 \over 625}$

área do 96-polígono ${}A_{192}=314{64 \over 625}$

Diferença do 96-polígono e do 48-polígono:

${}D_{192}=314{\frac {64}{625}}-313{\frac {584}{625}}={\frac {105}{625}}$

da desigualdade de Liu Hui para π:

$A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.$

Como r = 10, $A_{C}=100\times \pi$

então:

${}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {64}{625}}+{\frac {105}{625}}$

${}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {169}{625}}$

${}3,141024<\pi <3,142704.$

Ele nunca considerou π como a média do limite inferior 3,141024 e do limite superior 3,142704. Ao invés sugeriu que 3,14 era um valor aproximado bom o suficiente para π, e o expressou como a fração ${\tfrac {157}{50}}$; salientou que este número era ligeiramente menor que o exato.

Liu Hui efetuou seus cálculos com o sistema numérico de varas, e expressou os resultados com frações. Contudo, a natureza iterativa do algoritmo de Liu Hui para π é muito clara:

$2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,$

onde m é o comprimento de um lado do polígono de próxima ordem bissectado de M. O mesmo cálculo é feito repetidamente, cada passo requerendo somente uma adição e uma extração de raiz quadrada.

Método rápido

O cálculo de raízes quadradas de números irracionais não era uma tarefa fácil no século III com o sistema numérico de varas. Liu Hui descobriu um atalho comparando os diferenciais de área de polígonos, e constatou que a proporção da diferença na área de polígonos de ordem sucessiva era de aproximadamente 1/4.

Seja D_N a diferença de áreas de um N-polígono e um (N/2)-polígono

$D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,$.

Ele encontrou:

$D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}$

$D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}$

Então:

${\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

Área do círculo de raio unitário =

${}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,$

Em que

$F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.$

Isso é tudo o que subsequentes áreas em excesso somam a um terço de $D_{192}$

área do círculo unitário${}=\pi \approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}\approx {3927 \over 1250}\approx 3,1416.\,$

Ver também

• Método da exaustão
• Algoritmo de Zhao Youqin para π

Notas

↑1 Valor correto: 0.2502009052

↑2 Valor correto:

$A_{192}=3,1410319509$

$D_{192}=0,0016817478$

$\pi \approx A_{192}+{\frac {1}{3}}D_{192}\approxeq 3,1410319509+0,0016817478/3$

$\pi \approx 3,1410319509+0,0005605826$

$\pi \approx 3,1415925335.$

O método rápido de Liu Hui era potencialmente hábil para fornecer aproximadamente o mesmo resultado de um 12288-polígono (3,141592516588) com apenas um 96-polígono.

Leitura adicional

• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.
• Wu Wenjun ed, History of Chinese Mathematics Vol III (em chinês) ISBN 7-303-04557-0